La equivalencia de la segunda ley de Newton, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange [cerrado]

Question

La equivalencia de la segunda ley de Newton, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange [cerrado]

Hosein Rahnama

Considere la siguiente pregunta en mecánica clásica

¿La segunda ley de Newton, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange son equivalentes para partículas y sistemas de partículas?

En caso afirmativo , ¿dónde puedo encontrar una prueba completa?
¿Existen ciertas condiciones para esta equivalencia?

Si no , ¿cuál es el más general?

¡No pude encontrar la respuesta a mi pregunta en los libros ya que hay muchas oraciones y ninguna conclusión clara! ¡O al menos no pude obtenerlo de los libros! Tal vez la razón sea que los libros físicos no se escriben axiomáticamente (como los libros de matemáticas). El libro en el que me centré fue Mecánica clásica de Herbert Goldstein .

\begin{aligned} Segunda Ley de Newton, & F_{j} = {metro}_{j} a_{j}, j = 1, \dots, norte \\ Ecuaciones de Lagrange, & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = q_{j}, j = 1, \dots, METRO \\ Principio de Hamilton, & d \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q_{1}, \dots, q_{METRO}, {\dot{q}}_{1}, \dots, {\dot{q}}_{METRO}, t) d t = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Newton's Second Law},\qquad\qquad &\mathbf{F}_j=m_j\mathbf{a}_j,\qquad j=1,\dots,N \\[0.9em] \text{Lagrange's Equations},\qquad\qquad &\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j,\qquad j=1,\dots,M \\ \text{Hamilton's Principle},\qquad\qquad &\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_1,\dots,q_M,\dot q_1,\dots,\dot q_M,t)dt=0 \end{align*}$

dónde $N$ es el número de partículas y $M$ es el número de coordenadas generalizadas $q_j$ . Los lectores interesados también pueden leer este artículo .

Jim

Sin siquiera mencionar si el principio de Hamilton y las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes, es fácil responder a su pregunta con un "No" porque la ley II de Newton obviamente no es equivalente a ninguna de las dos. Newton II solo cubre el cambio de momento en el tiempo siendo igual a la fuerza aplicada. Nada sobre esta ley te da las verdaderas ecuaciones de movimiento para sistemas exóticos, no incluye energía, no da un mecanismo para aplicar a otros problemas de física. Seguro que puedes obtener Newton II de Hamilton, pero decir que son equivalentes es como decir que las sumas son equivalentes a las integrales.

Hosein Rahnama

@Jim: Ver este enlace

Jim

@HR Supuestamente demostraron que la mecánica lagrangiana es equivalente a la mecánica newtoniana, que técnicamente no es lo mismo que la equivalencia a la segunda ley de Newton únicamente. Además, demostraron esto al tomar la derivada de ambos lados de dos ecuaciones y demostrar que los LHS son equivalentes al igual que los RHS. Esto no es lo que yo llamaría riguroso. Decir que las derivadas son equivalentes no significa que las expresiones originales sean equivalentes. La derivada x de

x^{2} + 1

$x^2+1$ es igual a la de

x^{2} + e^{y}

$x^2+e^y$ pero difícilmente son expresiones equivalentes.

Jim

El principio de Hamilton se puede utilizar para explorar la física de las teorías cuánticas de campos; La segunda ley de Newton no puede. Por lo tanto, debe haber una diferencia fundamental entre ellos, que hace que uno sea compatible con la física de alto nivel como QFT pero no el otro Y, por la mera existencia de una diferencia entre ellos, los hace no equivalentes. Si fueran realmente equivalentes, podría usar Newton II en lugar del principio de Hamilton en todas partes sin que hubiera ninguna diferencia. Muéstrame que esto es posible y admitiré que son lo mismo.

librecharly

Creo que esta es una pregunta específica muy justificada que amerita una respuesta por parte de la comunidad.

Físico137

No entiendo cómo se cerró esta pregunta. Definitivamente no es amplio. Como la pregunta está cerrada, no puedo responder ... pero la respuesta es simple: no. Y en la física general, tampoco hay un "general". Hay sistemas que solo Hamilton puede hacer. Hay sistemas que solo newton puede hacer. Etcétera. Si se restringe solo a la mecánica clásica (no a la relatividad, no a EM), entonces es posible probar que

P (H) \subset P (L) \subset P (N)

$P(H)\subset P(L)\subset P(N)$ , dónde

P (N)

$P(N)$ es el conjunto de todos los problemas que puede resolver newton, y así sucesivamente.

Físico137

@HR Lo haría si pudiera. Pero no tengo suficiente reputación para hacer tal cosa. Bueno, la prueba es una "consecuencia" de la construcción. Por ejemplo, cuando pasas de newton a lagrange

L = T - V

$L = T-V$ , se supone que existe una función potencial. ¿Qué pasa si no existe? Y si

\nabla \times F \neq 0

$\nabla\times\mathbf F\neq 0$ ? Entonces newton es más general ya que puede resolver un problema sin necesidad de potencial. (Esto se restringe solo a la mecánica clásica). En física general, no existe tal cosa como "más general" como dije antes. = D.

Hosein Rahnama

@ Physicist137: mmmmmm, ¡podemos derivar ecuaciones de Lagrange para sistemas no conservativos a partir de Newton! ¿No podemos?

Físico137

@HR Como puedas. pero no tendra

L = T - V

$L = T-V$ ya que aparecerá una fuerza generalizada. Pero entonces la ecuación de Euler-Lagrange no será la que tiene

L

$L$ , pero el que tiene

T

$T$ solo y

Q

$Q$ (la fuerza generalizada). Este caso sí, es equivalente. Pero entonces, una función lagrangiana

L

$L$ podría o no existir. Es decir, no puedes saltar a hamilton por legendre transform si

L

$L$ no existe. Y dado que un lagrangiano podría no existir, no lo llamaría "Sistema Lagrangiano".

Respuestas (2)

La equivalencia de la segunda ley de Newton, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange [cerrado]

Sin siquiera mencionar si el principio de Hamilton y las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes, es fácil responder a su pregunta con un "No" porque la ley II de Newton obviamente no es equivalente a ninguna de las dos. Newton II solo cubre el cambio de momento en el tiempo siendo igual a la fuerza aplicada. Nada sobre esta ley te da las verdaderas ecuaciones de movimiento para sistemas exóticos, no incluye energía, no da un mecanismo para aplicar a otros problemas de física. Seguro que puedes obtener Newton II de Hamilton, pero decir que son equivalentes es como decir que las sumas son equivalentes a las integrales.
@HR Supuestamente demostraron que la mecánica lagrangiana es equivalente a la mecánica newtoniana, que técnicamente no es lo mismo que la equivalencia a la segunda ley de Newton únicamente. Además, demostraron esto al tomar la derivada de ambos lados de dos ecuaciones y demostrar que los LHS son equivalentes al igual que los RHS. Esto no es lo que yo llamaría riguroso. Decir que las derivadas son equivalentes no significa que las expresiones originales sean equivalentes. La derivada x de $x^2+1$ es igual a la de $x^2+e^y$ pero difícilmente son expresiones equivalentes.
El principio de Hamilton se puede utilizar para explorar la física de las teorías cuánticas de campos; La segunda ley de Newton no puede. Por lo tanto, debe haber una diferencia fundamental entre ellos, que hace que uno sea compatible con la física de alto nivel como QFT pero no el otro Y, por la mera existencia de una diferencia entre ellos, los hace no equivalentes. Si fueran realmente equivalentes, podría usar Newton II en lugar del principio de Hamilton en todas partes sin que hubiera ninguna diferencia. Muéstrame que esto es posible y admitiré que son lo mismo.
Creo que esta es una pregunta específica muy justificada que amerita una respuesta por parte de la comunidad.
No entiendo cómo se cerró esta pregunta. Definitivamente no es amplio. Como la pregunta está cerrada, no puedo responder ... pero la respuesta es simple: no. Y en la física general, tampoco hay un "general". Hay sistemas que solo Hamilton puede hacer. Hay sistemas que solo newton puede hacer. Etcétera. Si se restringe solo a la mecánica clásica (no a la relatividad, no a EM), entonces es posible probar que $P(H)\subset P(L)\subset P(N)$ , dónde $P(N)$ es el conjunto de todos los problemas que puede resolver newton, y así sucesivamente.
@HR Lo haría si pudiera. Pero no tengo suficiente reputación para hacer tal cosa. Bueno, la prueba es una "consecuencia" de la construcción. Por ejemplo, cuando pasas de newton a lagrange $L = T-V$ , se supone que existe una función potencial. ¿Qué pasa si no existe? Y si $\nabla\times\mathbf F\neq 0$ ? Entonces newton es más general ya que puede resolver un problema sin necesidad de potencial. (Esto se restringe solo a la mecánica clásica). En física general, no existe tal cosa como "más general" como dije antes. = D.
@ Physicist137: mmmmmm, ¡podemos derivar ecuaciones de Lagrange para sistemas no conservativos a partir de Newton! ¿No podemos?
@HR Como puedas. pero no tendra $L = T-V$ ya que aparecerá una fuerza generalizada. Pero entonces la ecuación de Euler-Lagrange no será la que tiene $L$ , pero el que tiene $T$ solo y $Q$ (la fuerza generalizada). Este caso sí, es equivalente. Pero entonces, una función lagrangiana $L$ podría o no existir. Es decir, no puedes saltar a hamilton por legendre transform si $L$ no existe. Y dado que un lagrangiano podría no existir, no lo llamaría "Sistema Lagrangiano".

qmecanico · Answer 1

Las formulaciones anteriores de esta pregunta eran bastante amplias. Esta respuesta se construye como una respuesta amplia dentro de la clásica $^{\dagger}$ teorías con algunos puntos de navegación con suerte útiles:

Por un lado, el principio de acción estacionario (= principio de Hamilton) y las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen sentido mucho más allá del ámbito de la mecánica newtoniana, por ejemplo, en la teoría de campos o la mecánica puntual relativista.
Por otro lado, hay sistemas disipativos en la mecánica newtoniana que no tienen formulación de acción, véase, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Se puede mostrar que amplias clases de sistemas newtonianos satisfacen el principio de D'Alembert, como, por ejemplo, cuerpos rígidos, consulte esta publicación de Phys.SE.
Para conocer la validez del principio de D'Alembert, consulte esta y esta publicación de Phys.SE.
Se puede demostrar que el principio de D'Alembert conduce a las ecuaciones de Lagrange, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Tenga en cuenta que las ecuaciones de Lagrange son más generales que las ecuaciones de Euler-Lagrange, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Dentro de la mecánica newtoniana, también se analiza una comparación de varias formulaciones en esta publicación de Phys.SE.

--

$^{\dagger}$ Con la palabra clásica queremos decir $\hbar=0$ .

¿Amplio? ¿Por qué amplio? O es equivalente, o no lo es. Que la respuesta es obviamente no. Y para responderla bien, un solo contraejemplo sería suficiente como prueba formal.
@ Physicist137 - ¡Esta es una muy buena respuesta a las condiciones de equivalencia! Las equivalencias pueden depender de las condiciones. De ahí su estipulación "Es equivalente, o no". no es correcto.
@freecharly Bueno ... Cuando leí la pregunta, creo que tuve la impresión de que OP estaba preguntando matemáticamente. Es decir, es un conjunto de ecuaciones $A$ equivalente al conjunto de ecuaciones $B$ , en el sentido de que $A\Longleftrightarrow B$ ? De la lógica matemática, esta oración es verdadera o falsa. Entonces... Y los comentarios de OP parecen confirmarlo. Quiero decir... ¿qué otra interpretación es esa?
La equivalencia no es cierta en general. Parece una tarea inútil tratar de formular condiciones precisas suficientes y necesarias para la equivalencia. La respuesta anterior solo señala flechas de implicación unidireccionales, no bi-implicaciones.

librecharly · Answer 2

La equivalencia de la segunda ley de Newton con el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange significa que puede (matemáticamente) derivar el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange a partir de la ley de Newton y, a la inversa, puede derivar la ley de Newton a partir del principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange.

En primer lugar, el principio de acción estacionaria de Hamilton variacional es equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (ecuaciones de Lagrange de segundo tipo) Principio de Hamilton , es decir, cada una se sigue de la otra. En segundo lugar, a partir de las leyes de Newton se siguen las ecuaciones de Lagrange. Por otro lado, se puede ver fácilmente que la ley de Newton se deriva de las ecuaciones de Lagrange para coordenadas cartesianas. Véase, por ejemplo, Equivalencia de Newton y Lagrange.

Por lo tanto, la ley de Newton, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange son equivalentes, ya que pueden derivarse mutuamente. Sin embargo, estas equivalencias podrían estar restringidas a ciertas condiciones, como, por ejemplo, la suposición de fuerzas conservativas derivadas de un potencial, mientras que la validez de las ecuaciones de Lagrange o el principio de Hamilton podría ser más general.

(+1) Gracias por tu clara respuesta, pero me interesan los detalles bajo los cuales es válida la equivalencia. ¿Puedes agregar algunos detalles?
@HR: no conozco una monografía donde se den las condiciones más generales. Para la validez de las ecuaciones de Lagrange, a veces se establece un potencial monogénico, es decir, que todas las fuerzas se derivan de un potencial que depende de coordenadas generalizadas, velocidades y tiempo, y que las restricciones son holonómicas, las fuerzas de restricción no realizan trabajo y, por lo tanto, se excluye la fricción. . Consulte estas conferencias de Harvard (a partir de 3) para obtener una derivación de equivalencias a partir de la ley de Newton. users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture03.pdf
@HR No estoy seguro de si respondería totalmente a sus preguntas, pero debería considerar pasar tiempo en el libro "Métodos matemáticos de la mecánica clásica" de VI Arnold. Profundiza más en los argumentos matemáticos de la mecánica clásica que muchos otros libros sobre el tema. Al menos dele algo de tiempo y luego podrá hacer de manera más adecuada la pregunta detallada en particular que lo ayude a obtener la comprensión que desea.
No estoy de acuerdo. No son equivalentes. Cuando pasa de newton a lagrange, hace restricciones, por lo que newton sigue siendo más general. Es decir, hay sistemas que solo newton puede resolver.
@Señalé en mi respuesta que las equivalencias podrían estar restringidas a ciertas condiciones. Creo que las ecuaciones de Lagrange con términos de fuerza no conservativos (generalizados) son totalmente equivalentes a las ecuaciones de Newton. Véase Goldstein, Mecánica clásica. Tal vez pueda señalar un ejemplo donde las ecuaciones de Newton son más generales.
Oh.. Son equivalentes (es decir, el que tiene fuerza generalizada). Pero no creo que sea un sistema lagrangiano ya que no hay una función lagrangiana. (Es decir, $L = T-V$ ). Podría estar equivocado...

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