La primera y segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) con dependencia temporal explícita

Question

La primera y segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) con dependencia temporal explícita

Física
mecanica clasica
mecanica-newtoniana
formalismo lagrangiano
principio variacional
ecuaciones diferenciales

ann marie coeur

He aprendido la primera y segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) sin dependencia temporal explícita (la dependencia temporal solo está implícita en la función a resolver, digamos $y\left(t\right)$ ), de Thorton-Marion 5th Edition sobre Classical Dynamics. Voy a reemplazar su funcional $f\left(y\left(x\right), \frac{d}{dx}y\left(x\right); x\right)$ a este lagrangiano $L$ notación:

L (y (t), \frac{d}{d t} y (t); t) .

$L\left(y\left(t\right), \frac{d}{dt}y\left(t\right); t\right).$

La primera forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) se resuelve a partir del Lagrangiano
$L (y (t), \dot{y} (t); t)$ $L\left(y\left(t\right),\dot{y}\left(t\right);t\right)$ en el Capítulo 6.3, pero con $t$ la dependencia parece no jugar ningún papel. Thorton-Marion obtiene (6.18): $\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}) = 0$ $\boxed{\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=0}$
La segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) se resuelve a partir del Lagrangiano $L\left(y\left(t\right), \frac{d}{dt}y\left(t\right); t\right)$ en el Capítulo 6.4, pero con explícita $t$ la dependencia juega un papel . Thorton-Marion obtiene (6.39):
$\frac{\partial L}{\partial t} - \frac{d}{d t} (L - \dot{y} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}) = 0$ $\boxed{\frac{\partial L}{\partial t}-\frac{d}{dt}\left(L-\dot{y}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=0}$ Pero esto explícito $t$ La forma de dependencia no da lugar a la respuesta correcta para la ecuación de Euler-(Lagrange) con dependencia temporal explícita, porque Thorton-Marion ya usó (6.18) para derivar esta (6.39). ¡Así que se requiere necesariamente alguna modificación!

Pregunta

¿Cuáles son la primera y la segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) con Lagrangian de dependencia temporal explícita?
¿Cómo modificar y corregir las derivaciones en Thorton-Marion (6.18) y (6.39) para obtener una ecuación de Euler-(Lagrange) con Lagrange de sistema dependiente del tiempo explícito?

ps Hay una publicación relacionada sobre la ecuación de Lagrange con dependencia de tiempo explícita: ¿ Cómo lidiar con la dependencia de tiempo explícita del Lagrangiano? Pero no funcionan en la primera y segunda formas análogas de la ecuación de Euler-(Lagrange). Espero que pueda proporcionar algunas ideas o una forma final explícita de ecuaciones.

Respuestas (2)

La primera y segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) con dependencia temporal explícita

qmecanico · Answer 1

La segunda forma de la ecuación de Euler-Lagrange se puede reescribir como

\begin{matrix} (EL2) & \frac{d h}{d t} = - \frac{\partial L}{\partial t}, \end{matrix}

$\frac{dh}{dt}~=~-\frac{\partial L}{\partial t},\tag{EL2}$

dónde

\begin{matrix} (h) & h (q, \dot{q}, t) := (\sum_{j = 1}^{norte} {\dot{q}}^{j} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}^{j}} - 1) L (q, \dot{q}, t) \end{matrix}

$h(q,\dot{q},t)~:=~\left(\sum_{j=1}^n\dot{q}^j\frac{\partial }{\partial \dot{q}^j}-1 \right)L(q,\dot{q},t) \tag{h}$

es la función de energía (lagrangiana). EL2 se sigue directamente de la primera forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange

\begin{matrix} (EL1) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}} - \frac{\partial L}{\partial q^{j}} = 0, j \in {1, \dots, norte}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~0, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\},\tag{EL1}$ para un Lagrangiano arbitrario de primer orden

L (q, \dot{q}, t)

$L(q,\dot{q},t)$ con posible dependencia temporal explícita.

mike piedra · Answer 2

¡Qué horrible notación! Por un $L$ sin dependencia temporal explícita ( $L=L(y,\dot y))$ , la expresion

F = L - \dot{y} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}

$F= L-\dot y \frac{\partial L}{\partial \dot y}$ obedece

\frac{d}{d t} F = 0

$\frac{d}{dt}F=0$ Esta primera integral es consecuencia de la ecuación EL

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}) = 0.

$\frac{\partial L}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y}\right)=0.$ No es una "segunda forma de la ecuación EL". En ejemplos simples es la energía, y dice que la energía se conserva para sistemas independientes del tiempo. Para los sistemas unidimensionales, la conservación de la energía es una forma útil de resolver el movimiento.

Cuando hay más de uno $y$ todavía hay una primera integral

F = L - \sum_{i} {\dot{y}}_{1} \frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_{i}},

$F= L-\sum_i \dot y_1 \frac{\partial L}{\partial \dot y_i},$ pero solo hay uno , y una conservación de energía no es suficiente para resolver el movimiento.

Del mismo modo si $L(y,\dot y,t)$ entonces

\frac{d}{d t} F = \frac{\partial L}{\partial t}

$\frac {d}{dt}F= \frac{\partial L}{\partial t}$ es una consecuencia de la ecuación EL usual. La ecuación EL no cambia si existe una dependencia temporal explícita.

Te sugiero que leas un libro mejor.

Sospecho que las infelicidades que criticas en la descripción del OP se deben más al OP que a Thornton & Marion. Al menos en la cuarta edición, la notación utilizada es mucho más agradable: la ecuación dada se escribe como $\frac{\partial F}{\partial X} - \frac{d}{d X} (F - y^{'} \frac{\partial F}{\partial y^{'}}) = 0.$ $\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dx} \left( f - y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0.$ Los autores también pusieron "segunda forma" entre comillas, presumiblemente para indicar que esta no es realmente una nueva forma de la ecuación de Euler; y básicamente dicen lo que dices en la discusión en esa sección. ...
... Es posible que esto haya cambiado en la quinta edición, pero lo dudo un poco. Principalmente quería defender el honor de Marion & Thornton, ya que es un libro bastante bueno para la mecánica clásica de nivel intermedio (aunque suelo usar a Taylor para enseñar desde estos días).
@Michael Seifert. Supongo que tengo prejuicios... He visto algunos relatos realmente malos en los libros de introducción. Aprendí las cosas de Synge y Griffith, pero aprendí a amar a Goldstein.

La primera y segunda forma de la ecuación de Euler-(Lagrange) con dependencia temporal explícita

ann marie coeur

Pregunta

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qmecanico

mike piedra

Michael Seifert

Michael Seifert

mike piedra

joiguo

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