Principio de D'Alembert: Necesidad de desplazamientos virtuales

Question

Principio de D'Alembert: Necesidad de desplazamientos virtuales

Física
mecanica clasica
mecanica-newtoniana
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

sandesh kalantre

¿Por qué el principio de d'Alembert es
$\sum_{i} (F_{i} - {metro}_{i} a_{i}) \cdot d r_{i} = 0$ $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot \delta \bf r_i = 0$ expresado en términos de desplazamientos "virtuales" en lugar de desplazamientos reales?
¿Por qué es tan necesario "congelar" el tiempo en los desplazamientos?
Además, ¿qué sería $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot d \bf r_i$ corresponden a si algo en absoluto? En otras palabras, ¿cuál será el valor de la expresión con desplazamientos reales en lugar de virtuales?

joshfísica

Me gustaría hacer una predicción sobre el futuro. Pronto recibirá una respuesta de un usuario cuyo nombre comienza con una "Q" y termina con una "c".

Trimok

El marco es la Mecánica Lagrangiana . Para encontrar el movimiento real (camino), hay que extremar una acción, y la variación de la acción calculada para el camino real y un camino virtual infinitamente cercano debe ser cero. A hora fija

t

$t$ , la variación infinitesimal de coordenadas entre estos 2 caminos infinitamente cercanos es un desplazamiento virtual

δ \vec{r} (t)

$\delta \vec r(t)$ .

Trimok

.......El principio de D'Alembert, es una filosofía relacionada, con restricciones, y las nociones de trabajo virtual, coordenadas generalizadas, fuerzas generalizadas y ecuaciones de movimiento generalizadas . Este último, con una fuerza conservativa

F_{i} = - \frac{\partial U (\vec{r})}{\partial x^{i}}

$F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange .

sandesh kalantre

Las ecuaciones de Euler-Langrange se pueden derivar en su forma completa simplemente usando el principio de D'Almebert y el hecho de que las restricciones son holonómicas. Por lo tanto, no podemos invocar el principio de acción o las ecuaciones de Euler-Langrange, ya que eso solo conduce a un razonamiento circular.

Selene Routley

@joshphysics ¡Ya ves! ¡Después de todo, la física es superdeterminista!

qmecanico

O al menos una persona es superpredecible :)

Respuestas (4)

Principio de D'Alembert: Necesidad de desplazamientos virtuales

Me gustaría hacer una predicción sobre el futuro. Pronto recibirá una respuesta de un usuario cuyo nombre comienza con una "Q" y termina con una "c".
El marco es la Mecánica Lagrangiana . Para encontrar el movimiento real (camino), hay que extremar una acción, y la variación de la acción calculada para el camino real y un camino virtual infinitamente cercano debe ser cero. A hora fija $t$ , la variación infinitesimal de coordenadas entre estos 2 caminos infinitamente cercanos es un desplazamiento virtual $\delta \vec r(t)$ .
.......El principio de D'Alembert, es una filosofía relacionada, con restricciones, y las nociones de trabajo virtual, coordenadas generalizadas, fuerzas generalizadas y ecuaciones de movimiento generalizadas . Este último, con una fuerza conservativa $F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange .
Las ecuaciones de Euler-Langrange se pueden derivar en su forma completa simplemente usando el principio de D'Almebert y el hecho de que las restricciones son holonómicas. Por lo tanto, no podemos invocar el principio de acción o las ecuaciones de Euler-Langrange, ya que eso solo conduce a un razonamiento circular.
@joshphysics ¡Ya ves! ¡Después de todo, la física es superdeterminista!

qmecanico · Answer 1

Consideremos un problema newtoniano no relativista de $N$ partículas puntuales con posiciones

\begin{matrix} (1) & r_{i} (q, t), i \in {1, \dots, norte}, \end{matrix}

${\bf r}_i(q,t), \qquad i\in\{1, \ldots, N\},\tag{1}$

con coordenadas generalizadas $q^1, \ldots, q^n$ , y $m=3N-n$ Restricciones holonómicas .

Supongamos, por simplicidad, que la fuerza aplicada del sistema tiene un potencial generalizado (posiblemente dependiente de la velocidad) $U$ . (Esto, por ejemplo, descarta las fuerzas de fricción proporcionales a la velocidad).

Entonces es posible derivar la siguiente identidad clave

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{norte} (F_{i} - {\dot{pags}}_{i}) \cdot (d r_{i} - \frac{\partial r_{i}}{\partial t} d t) = & \sum_{i = 1}^{norte} (F_{i} - {\dot{pags}}_{i}) \cdot \sum_{j = 1}^{norte} \frac{\partial r_{i}}{\partial q^{j}} d q^{j} \\ = & \sum_{j = 1}^{norte} (\frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) d q^{j}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \left(\delta {\bf r}_i - \frac{\partial {\bf r}_i}{\partial t}\delta t\right) ~=~& \sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \sum_{j=1}^n\frac{\partial {\bf r}_i}{\partial q^j}\delta q^j\cr ~=~& \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j,\end{align} \tag{2}$

dónde

\begin{matrix} (3) & {pags}_{i} = metro v_{i}, v_{i} = {\dot{r}}_{i}, L = T - tu, T = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} v_{i}^{2} . \end{matrix}

${\bf p}_i~=~m{\bf v}_i, \qquad {\bf v}_i~=~\dot{\bf r}_i, \qquad L~=~T-U,\qquad T~=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i {\bf v}_i^2. \tag{3}$

Aquí $\delta$ denota un infinitesimal arbitrario $^1$ desplazamiento en $q$ arena $t$ , lo cual es consistente con las restricciones. Hay infinitos desplazamientos de este tipo. $\delta$ .

El desplazamiento real (es decir, el que realmente se está realizando) es solo uno de aquellos con $\delta t >0$ .

Por el contrario, un desplazamiento virtual $\delta$ tiene por definición

\begin{matrix} (4) & d t = 0. \end{matrix}

$\delta t~=~0. \tag{4}$

Es costumbre referirse al eje del tiempo como horizontal, y el $q^j$ direcciones como verticales. Entonces podemos decir que un desplazamiento virtual es vertical (4), mientras que un desplazamiento real nunca lo es.

Tenga en cuenta que tanto el lhs. y el derecho. de la ec. (2) efectivamente no dependen de $\delta t$ .

Podemos elegir entre los siguientes primeros principios:

\begin{matrix} (5) & principio de D'Alembert \Leftrightarrow Ecuaciones de Lagrange \Leftrightarrow Principio de acción estacionaria . \end{matrix}

$\text{D'Alembert's principle } \Leftrightarrow \text{ Lagrange equations }\Leftrightarrow\text{ Stationary action principle}. \tag{5}$

I) Por un lado, el principio de d'Alembert dice que

\begin{matrix} (6) & \sum_{i = 1}^{norte} (F_{i} - {\dot{pags}}_{i}) \cdot d r_{i} = 0 \end{matrix}

$\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i~=~0 \tag{6}$

para todos los desplazamientos virtuales $\delta$ ecuacion satisfactoria (4). Esto es equivalente a decir que el lhs. de la ec. (2) se desvanece por desplazamientos arbitrarios (no necesariamente verticales). Entonces las ecuaciones de Lagrange

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}~=~0\tag{7}$

sigue a través de la ec. (2) del hecho de que los desplazamientos virtuales $\delta q^j$ en las coordenadas generalizadas no están restringidas y son arbitrarias.

Por el contrario, cuando las ecuaciones de Lagrange. (7) están satisfechos, entonces los lhs. de la ec. (2) desaparece. Esto conduce al principio de d'Alembert (6) para desplazamientos verticales. No conduce al principio de d'Alembert (6) para desplazamientos no verticales .

II) En cambio, si integramos los rhs. de la ec. (2) con el tiempo $t$ , obtenemos (después de descartar los términos de contorno) la variación virtual/vertical infinitesimal

\begin{matrix} (8) & d S = \int d t \sum_{j = 1}^{norte} (\frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) d q^{j} \end{matrix}

$\delta S ~=~ \int \! \mathrm dt \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j\tag{8}$

de la acción $S= \int \!\mathrm dt~L$ . El principio de acción estacionaria produce entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange (7).

III) Por último, subrayemos los siguientes puntos:

Nótese en ambos casos (I) y (II) que la libertad de realizar desplazamientos virtuales arbitrarios o variaciones virtuales es lo que nos permite deducir las ecuaciones de Lagrange. (7).
Obsérvese en ambos casos (I) y (II) que los desplazamientos son verticales (4), es decir, no hay variación horizontal $\delta t$ .

Referencias:

H. Goldstein, Mecánica Clásica, Capítulo 1 y 2.

--

$^1$ Todos los desplazamientos y variaciones en esta respuesta se asumen implícitamente como infinitesimales.

”Esto, por ejemplo, descarta las fuerzas de fricción proporcionales a la velocidad“ - ¿Por qué? Si estamos considerando el potencial dependiente de la velocidad, realmente queremos incluir esas fuerzas, ¿no?
@ Kazz8: Sí, permitimos potenciales dependientes de la velocidad $U$ . Y no, la fuerza de rozamiento ${\bf F}_f= -k{\bf v}$ no tiene un potencial dependiente de la velocidad $U$ . Ver, por ejemplo , esta respuesta Phys.SE y el texto alrededor de eq. (1.67) en Goldstein.

freude · Answer 2

Los términos desplazamientos virtuales, así como los trabajos virtuales correspondientes, se utilizan para garantizar que durante estos desplazamientos todas las fuerzas actuantes permanezcan iguales. Los desplazamientos reales, por lo general, se complementan con cambios en las fuerzas.

El desplazamiento virtual es colineal con la fuerza resultante y la aceleración de una partícula. Ahora imaginando, ¿qué pasa si el desplazamiento REAL es perpendicular a la fuerza (es posible si las fuerzas están cambiando). En este caso no se puede definir la dirección de la aceleración. El desplazamiento virtual es un valor vectorial y no es arbitrario.

Entonces, ¿por qué "necesitamos" que las fuerzas sean las mismas?
La respuesta corta es encontrar las aceleraciones reales en el instante de tiempo. El desplazamiento virtual es colineal con la fuerza resultante y la aceleración de la partícula. Ahora imaginando, qué pasa si el desplazamiento REAL es perpendicular a la fuerza (es posible). En este caso no se puede definir la dirección de la aceleración.

larry harson · Answer 3

Respondiendo a tus puntos:

Se utilizan desplazamientos virtuales porque sin ellos, el teorema sería inútil para derivar ecuaciones de movimiento útiles. Con ellos podemos derivar $N-m$ ecuaciones diferenciales independientes de movimiento donde $N$ son el número de grados de libertad sin restricciones, $m$ el número de restricciones.
Un desplazamiento virtual es un desplazamiento que no necesariamente tiene lugar en el problema, pero que se imagina que tiene lugar, sin dejar de ser compatible con las restricciones. Incluso en un problema de estática con una canica en el fondo de un pozo esférico, cualquier desplazamiento imaginado es virtual con el tiempo congelado porque en realidad está fijo en el fondo.
El valor de la expresión con desplazamientos que realmente suceden será cero, ya que los desplazamientos virtuales pueden ocurrir en cualquier dirección compatible con las restricciones del problema

Pedro · Answer 4

ad 3.) Si sus restricciones no dependen del tiempo, esto corresponde al trabajo que las fuerzas de restricción realizan para la evolución temporal real de su sistema. Si desea que esta expresión desaparezca para todos los desplazamientos posibles, exige que las fuerzas de restricción no puedan realizar trabajo para ningún desplazamiento posible.

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Confusión sobre los desplazamientos virtuales

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton y D'Alembert

¿Qué son los multiplicadores de Lagrange con respecto a las restricciones holonómicas en la mecánica clásica?

¿Hay ejemplos en la mecánica clásica donde falla el principio de D'Alembert?

Sistemas hamiltonianos sin un sistema lagrangiano correspondiente

¿Derivar ecuaciones de Euler-Lagrange para coordenadas generalizadas sin "trabajo virtual"?

¿La newtoniana F=maF=maF=ma implica el principio de acción mínima en mecánica?

Ecuaciones de Lagrange para sistemas monogénicos no holonómicos

¿Por qué podemos asumir variables independientes cuando usamos multiplicadores de Lagrange en sistemas no holonómicos?

¿Cuándo es válido el principio del trabajo virtual?