Actualmente estoy enseñándome mecánica intermedia y realmente estoy luchando con la derivación de diferenciales virtuales basada en d'Alembert para la ecuación de Euler-Lagrange. Toda la noción y la justificación del uso de diferenciales 'simulados' en un intervalo de tiempo de cero simplemente no me convencen. También me doy cuenta de que no todos los autores de libros de texto lo invocan, así que me pregunto qué tan necesario es, dado que el principio de Hamilton nos lleva perfectamente a EL. Entonces, ¿alguna vez necesitaré este enfoque de desplazamiento/trabajo virtual para algo que no sea una ruta a EL, o puedo despedirme de él con seguridad?
Para todas las aplicaciones prácticas en la física moderna (con la posible excepción de ciertas aplicaciones en ingeniería mecánica), uno puede olvidarse con seguridad del principio de d'Alembert y del principio del trabajo virtual. Por lo general, solo se necesita el principio de acción estacionaria y las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Sin embargo, si uno pertenece al grupo de personas que encuentran las leyes de Newton más intuitivas que las ecuaciones de Lagrange, entonces es, por razones puramente teóricas, inmensamente satisfactorio ver las ecuaciones de Lagrange derivadas de las leyes de Newton. Esto se hace, por ejemplo, en el primer capítulo de Herbert Goldstein, Classical Mechanics.
Un elemento importante en esta derivación es mostrar que una gran clase de fuerzas de restricción no realizan trabajo virtual , lo que conduce al principio de D'Alembert .
[Solo la derivación opuesta (casi trivial) de las ecuaciones de Lagrange a la segunda ley de Newton (sin restricciones), generalmente se muestra en las clases elementales de mecánica clásica.]
Finalmente, mencionemos que los caminos virtuales juegan un papel importante en la formulación de la integral de caminos de la mecánica cuántica.
Realmente nunca he necesitado usar el principio del trabajo virtual en la práctica (ya sea como estudiante o en investigación), así que personalmente creo que es seguro decir que no es necesario que dedique demasiado tiempo a esto.
Habiendo dicho esto, existe una formulación matemáticamente rigurosa de los desplazamientos virtuales y el trabajo virtual que está muy oscurecida (al menos en mi opinión) por la mayoría de los físicos. Esta formulación involucra básicamente desplazamientos virtuales considerados como vectores tangentes a la variedad de configuración del sistema. Hay una maravillosa descripción de todo esto en el libro Physics for Mathematicians: Mechanics 1 del autor Spivak, pero creo que la mayor parte del contenido de ese libro relacionado con el trabajo virtual se puede encontrar en el conjunto de notas Elementary Mechanics from a Mathematician's Viewpoint. en que se basó el libro. Ver especialmente la página 63 y la declaración del Principio de d'Alembert.
usuario21299