La energía se empareja con el tiempo y el Momentum con el espacio tanto en QM como en SR. ¿Alguna conexión allí?

En la mecánica cuántica no relativista , la energía se puede interpretar como una frecuencia en el tiempo y el impulso como una frecuencia en el espacio.

En la Relatividad Especial, la Energía resulta ser la componente temporal y el impulso, el componente espacial del vector de cuatro impulsos.

Estas dos son teorías muy poco relacionadas. Quiero decir, ninguno depende del otro. Ambos son extensiones independientes de la Mecánica Newtoniana. ¿Hay alguna razón más profunda por la que la energía tiende a emparejarse con el tiempo y el impulso con el espacio?

Respuestas (2)

Sí, porque a través del teorema de Noether, la conservación de la energía se deriva directamente de la simetría del tiempo (si haces un experimento hoy y repites el mismo experimento en el mismo lugar mañana o dentro de 100 años, el resultado será el mismo), y de la misma manera la conservación El impulso se deriva directamente de la simetría espacial (si realiza un experimento en un lugar, luego a 100 yardas de distancia, luego a 1 año luz de distancia, el resultado será el mismo).
Una consecuencia de esto es que tomando nuestro universo como un todo, la energía NO se conserva en algunos aspectos. Si realizaste un experimento 1 segundo después del Big Bang y luego lo hiciste ahora en el mismo lugar, los resultados serían diferentes debido a la expansión del universo. Una forma en que esto se manifiesta es que el fondo cósmico de microondas ha perdido energía con el tiempo. Esta energía no ha "ido a ninguna parte"; está fuera del balance.

Esta es una gran idea que has obtenido al estudiar las relaciones de estas cantidades en ecuaciones dispares y apunta a realidades más profundas. Así es como se hacen los descubrimientos científicos.

Me preguntaba si existe algo así como una frecuencia de cuatro en QM relativista. Una cuatrifrecuencia asociada a partículas, cuyos componentes se transforman a la manera de Lorentz.
Además, tal vez la probabilidad de encontrar una partícula se volvería dependiente del marco. Porque la frecuencia de cuatro de la partícula, y por lo tanto la función de onda, dependería del marco.
Si se malinterpretó esta pregunta, debe editarla para que refleje correctamente sus intenciones. De lo contrario, debe formularlas como nuevas preguntas. Siempre puede vincular a esta pregunta o esta respuesta en las nuevas preguntas para dar contexto a los posibles respondedores.
@Paul T. No, la respuesta está bien. Solo esperaba poder hacer algunas consultas adicionales relacionadas en los comentarios.
La falta de conservación de energía en GR es cierta. Pero no es una consecuencia del hecho de que puedas usar el teorema de Noether en sistemas con más simetría global.
@EggMan ¡Sí! Tal "cuatro frecuencias" existe, generalmente llamada onda de cuatro vectores. Sus componentes son la frecuencia ω y vector de onda espacial k → .
@Connor Behan, mi intención era señalar que, como usted dice, la energía no siempre se conserva en GR, y dar un ejemplo concreto de cuándo se ha observado que ese es el caso. Tal vez eso pasa por alto algunos detalles. En términos de qué es una consecuencia de qué, pensé a través del thm de Noether, Time Non-Invariance <=> La energía no se conserva. Uno debe implicar el otro, a mi entender.

Esta es una gran pregunta y, lamentablemente, ha recibido una respuesta completamente incorrecta de RC_23.

Lo primero que hay que darse cuenta es que la analogía no es tan cercana como parece. La cantidad relevante en la mecánica cuántica es el hamiltoniano, y en realidad no siempre es lo mismo que la energía de un sistema. Por ejemplo, en un marco giratorio, son cosas diferentes.

Rompiendo aún más la analogía está el hecho de que, aunque en la relatividad el tiempo es solo otra coordenada, este no es el caso en la mecánica cuántica. En QM, el tiempo es un parámetro, y no existe tal cosa como un operador de tiempo o un tiempo observable. (Por ejemplo, si tuviera que aplicar un operador de tiempo a un electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno, claramente no hay nada sensato que pueda resultar como resultado, y de manera similar para una medición de tiempo de este sistema, que es demasiado simple para actuar como un reloj.)

Si observamos la mecánica cuántica desde una perspectiva moderna, entonces, básicamente, no tiene nada que ver con cosas como el impulso o la energía. Si observa una de estas formulaciones, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 , verá que los componentes básicos son más como qubits que como partículas. Es posible tener sistemas cuánticos ricos e interesantes, como computadoras cuánticas para las que hay un hamiltoniano y un parámetro de tiempo, pero no hay nada como el momento o la posición.

Básicamente, solo tenemos funciones de onda, y el hamiltoniano nos dice cómo evoluciona la función de onda con el tiempo. No hay nada sobre la posición o el impulso que sea inherente a QM. Sin embargo, si va a tener bloques de construcción como partículas que viven en el espacio, entonces tendrá que obedecer el principio de correspondencia, lo que significa que debe poder recuperar las ecuaciones clásicas de movimiento en el límite apropiado. La forma en que normalmente hacemos esto es asociando el hamiltoniano QM con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Si observa las ecuaciones de movimiento hamiltonianas, verá que existe el tipo de tratamiento simétrico del hamiltoniano, el tiempo, la posición y el impulso que se describe en su pregunta.

En la relatividad especial, la situación es completamente diferente excepto que todavía tenemos que obedecer el principio de correspondencia para que podamos recuperar las leyes de Newton en el límite no relativista. La analogía energía-momento/tiempo-posición es completamente correcta en SR (a diferencia de QM), y no es difícil ver de dónde viene. Básicamente, la relatividad es una teoría geométrica, por lo que todos nuestros observables básicamente deben ser escalares o cuatro vectores. (También podrían ser tensores de mayor rango o partes del mismo, pero básicamente deben ser cosas que usen un producto interno consistente y un transporte paralelo de manera consistente). Si la línea de universo de una partícula es inercial y conecta puntos en el espacio-tiempo que difieren en un desplazamiento ( Δ t , Δ X ) , entonces eso es algo de cuatro vectores.

Podríamos preguntar acerca de la energía y el momento de esta partícula como objetos separados, pero eso no funcionará, porque la energía no es un escalar relativista y el momento no es un vector de cuatro. Si vamos a tener una cantidad que tenga sentido relativista y que se conecte de alguna manera con las no relativistas E y p, como requiere el principio de correspondencia, entonces terminaremos teniendo algo así como un cuatro vector de energía-momento. Ahora bien, si preguntamos acerca de su cuatrivector de energía-momento, no existe una regla que podamos usar para darle una dirección a este cuatrivector, a menos que hagamos que apunte en la misma dirección que el vector de desplazamiento. (Si apuntaran en diferentes direcciones, entonces en el marco de reposo de la partícula, elegir una dirección espacial para el momento distinto de cero violaría la simetría rotacional).

RC_23 dice que esto puede explicarse por el teorema de Noether. Esto está mal. El teorema de Noether es una consecuencia de la mecánica hamiltoniana, y sólo en el caso especial de que exista una simetría. Un sistema ni siquiera necesita tener tal simetría y, sin embargo, en tal situación, todas estas relaciones que involucran variables conjugadas aún deben cumplirse.

La respuesta de RC_23 agrava aún más el error al tratar de hacer algún tipo de afirmación poco clara pero errónea de que esto tiene que ver con la no conservación de la energía en la relatividad.

Una consecuencia de esto es que tomando nuestro universo como un todo, la energía NO se conserva en algunos aspectos. Si realizaste un experimento 1 segundo después del Big Bang y luego lo hiciste ahora en el mismo lugar, los resultados serían diferentes debido a la expansión del universo. Una forma en que esto se manifiesta es que el fondo cósmico de microondas ha perdido energía con el tiempo. Esta energía no ha "ido a ninguna parte"; está fuera del balance.

Esto no tiene nada que ver con su pregunta, que era sobre QM y SR, no sobre QM y GR. La energía se conserva localmente en GR (como se expresa por la divergencia cero del tensor tensión-energía), pero no se conserva globalmente. Esta falta de conservación global no tiene nada que ver con el hecho de que el espacio-tiempo carezca de cierta simetría. Por ejemplo, la energía-momento se conserva para espaciotiempos asintóticamente planos, aunque carezcan de las simetrías relevantes. El teorema de Noether simplemente no funciona como herramienta para este propósito en GR, por razones técnicas. La simetría relevante para GR sería la invariancia del difeomorfismo, pero el teorema de Noether no proporciona una cantidad conservada relacionada con esta simetría.

Atacar directamente a otro usuario no da una buena impresión. Es posible que desee considerar escribir una excelente respuesta que no se concentre en los errores en otras respuestas.
Es razonable suponer que el OP pregunta sobre las conexiones entre QM y SR cuando se aplican a sistemas que tienen esas simetrías.
@JohnRennie Por otro lado, es bueno ser claro cuando cree que la respuesta más votada es incorrecta. Sería bueno concentrarse en el contenido de la respuesta en lugar del autor. Esto se puede hacer citando la respuesta (presione el botón de citar debajo de la respuesta para obtener un enlace), en lugar del autor.
-1 por dos razones: (1) Usted menciona que el teorema de Noether solo se aplica en la dinámica hamiltoniana. Creo que su punto es que, dado que QM no es una dinámica hamiltoniana, el teorema de Noether no se aplica allí. ¡Pero esto no es cierto! No soy un simplista, pero al menos, la prueba pasa: simplemente reemplace los soportes de Poisson con conmutadores. (2) Sí, QM describe sistemas sin posiciones. ¿Así que lo que? La dinámica hamiltoniana también lo hace, y eso no quiere decir que no haya algo en común que aparezca cuando los aplicamos a sistemas que tienen coordenadas de posición.
Yo creo [ X , PAG ] = i está en el corazón de la mecánica cuántica. La teoría clásica de la probabilidad es aplicable tanto a una baraja de cartas como a la mecánica estadística. Así de simple, la teoría de la probabilidad cuántica, que vinculaste, es aplicable tanto a las computadoras cuánticas como a la mecánica cuántica. La mecánica cuántica todavía se trata fundamentalmente de [ X , PAG ] = i , incluso si las computadoras cuánticas no lo son.
User321305 planteas algunos puntos interesantes, algunos de los cuales no conocía, y siempre me gusta escuchar nuevas ideas. Pero parece que el quid principal de su argumento es la cuestión de si los observables físicos o las construcciones matemáticas que usamos para modelarlos son más "reales", y prefieren lo último. Por ejemplo , básicamente, solo tenemos funciones de onda, y el hamiltoniano nos dice cómo evoluciona la función de onda con el tiempo. Esta es una pregunta profunda sobre la filosofía de la física.
Personalmente, apoyaría lo primero, ya que podemos observar directamente el tiempo, la energía, el espacio y el momento en el mundo físico, pero no cosas como el hamiltoniano o generalizaciones posteriores del mismo. Y, a través de la teoría de cuerdas o alguna teoría futura, el hamiltoniano y las construcciones relacionadas podrían prescindirse en favor de alguna otra herramienta matemática, mientras que en el "mundo real", por así decirlo, el espacio y el impulso permanecerán. [Esto probablemente debería moverse de los comentarios al chat, pero no sé cómo hacerlo].
La energía se empareja con el tiempo y el Momentum con el espacio tanto en QM como en SR. ¿Alguna conexión allí?
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