Derivación del componente 000 de 4-momentum utilizando el Lagrangiano relativista

Buena pregunta.

1. Tenga en cuenta en primer lugar que es inconsistente usar el tiempo adecuado $\tau$como el parámetro world-line (WL)$\lambda$por el principio de acción estacionaria (PSA) . El punto es que el parámetro WL$\lambda$nunca se varía en el PSA, pero la acción $S$pasa a ser proporcional a$\tau$, que estamos tratando de maximizar. En particular, la expresión más a la derecha$-m_0c^2\left(\frac{dx^{0}}{d\tau}\right)^{-1}$en la ecuación de OP. (1) no se puede usar como una fórmula fuera de la cáscara para el Lagrangiano$L$, aunque correcto en valor. El mismo problema se discute en mis respuestas de Phys.SE aquí y aquí usando palabras ligeramente diferentes.

2. en ref. 1 el parámetro WL$\lambda=t\equiv \frac{x^0}{c}$es en cambio el tiempo de laboratorio, es decir, utiliza el indicador estático donde$\dot{x}^0=c$. (En esta respuesta, el punto significa diferenciación wrt.$\lambda$.) Conceptualmente, esta es la ruta más fácil. Sin embargo, esto destruye la covarianza de Lorentz manifiesta (pero no real), por lo que la derivada$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$No tiene sentido. Árbitro. 1 por lo tanto obtiene el componente 0$p_0$de manera indirecta, lo que es equivalente a mi respuesta Phys.SE aquí .

3. Finalmente, volvamos a la pregunta de OP: Sí, existe una formulación covariante manifiesta de Lorentz donde$p_0=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$, pero involucra simetría de calibre y restricciones, y es conceptualmente más desafiante, cf. por ejemplo, mi Phys.SE responde aquí y aquí .

Referencias:

1. L. Susskind y A. Friedman, Relatividad especial y teoría clásica de campos: el mínimo teórico, 2017; pag. 102-106.

$X_i$se está diferenciando con respecto al tiempo propio$X_0$solo. Así que si consideras la derivada de$X_0$con respecto a$X_0$, ese es uno, y por lo tanto$d(\dot{X_0})$es idénticamente cero! Sin embargo, si desea usar el Lagrangiano solo para calcular energía, puede apelar al teorema de Noether y calcular la carga de Noether correspondiente a las traslaciones de tiempo. Espero que esto ayude.