Operador hamiltoniano vs componente cero del cuatro vector de momento

Question

Operador hamiltoniano vs componente cero del cuatro vector de momento

Nicolás Engelberto

El componente cero del impulso cuádruple de una partícula es la energía dividida por la velocidad de la luz. Para una partícula libre de masa $m$ , eso es

{pag}_{0} = \frac{{mi}_{pag}}{C} = \sqrt{{\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2} C^{2}} .

$p_0 = \frac{E_{p}}{c} = \sqrt{\vec{\bf p}^2 + m^2c^2}.$

Ahora, la ecuación de Dirac para un electrón libre se puede poner en la forma hamiltoniana

\hat{H} ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t}

$\hat{H} \psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

con

\hat{H} = - i C ℏ α \cdot \nabla + β metro C^{2} .

$\hat{H} = -ic\hbar \mathbf{\alpha}\cdot\mathbf{\nabla} + \beta m c^2 .$

Mi pregunta es: si el hamiltoniano todavía debe interpretarse como la energía, ¿no debería haber una correspondencia (igualdad, esperaría) entre dicho hamiltoniano y la energía de la partícula dada por la relación de dispersión relativista?

Más específicamente, si promuevo los momentos en la relación de dispersión relativista con los operadores, ¿no debería el operador resultante $\hat{p}_0$ ser igual a $\hat{H}/c$ ?

Editar: mi razonamiento para creer que son diferentes es este artículo: https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.89.052101 en el que definen el $\hat{p_0}$ de la misma manera que lo hice (ec. 5 en el artículo) y llaman $\hat{H}_0$ el hamiltoniano de partículas libres de Dirac, y más tarde, ambos operadores aparecen en la misma ecuación como si fueran cosas diferentes. Por ejemplo, en la ec. 8 dan a los proyectores subespaciales de energía como:

{\hat{Λ}}^{\pm} = \frac{1}{2} (1 \pm \frac{{\hat{H}}_{0}}{C {\hat{pag}}_{0}})

$\hat{\Lambda}^{\pm} = \frac{1}{2}\left(1 \pm \frac{\hat{H}_0}{c \hat{p}_0}\right)$

Edición 2: versión arvix de dicho artículo: https://arxiv.org/abs/1403.0550

prahar

p^{0}

$p^0$ es el hamiltoniano.

ricardo myers

Prahar tiene razón, pero en términos más generales, consulte el volumen 1 de la teoría cuántica de campos de Weinberg para un desarrollo sistemático.

Nicolás Engelberto

@RichardMyers Gracias por las respuestas, pero... en este artículo parecen usar

{\hat{p}}_{0}

$\hat{p}_0$ y

{\hat{H}}_{0}

$\hat{H}_0$ con diferente significado. Editaré la pregunta e incluiré esta información adicional.

Javier

El artículo tiene un muro de pago, considere vincularlo a una versión arxiv.

Nicolás Engelberto

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Respuestas (1)

Operador hamiltoniano vs componente cero del cuatro vector de momento

Prahar tiene razón, pero en términos más generales, consulte el volumen 1 de la teoría cuántica de campos de Weinberg para un desarrollo sistemático.
@RichardMyers Gracias por las respuestas, pero... en este artículo parecen usar $\hat{p}_0$ y $\hat{H}_0$ con diferente significado. Editaré la pregunta e incluiré esta información adicional.
El artículo tiene un muro de pago, considere vincularlo a una versión arxiv.

Noiralef · Answer 1

La forma en que entiendo la notación * en el artículo vinculado es la siguiente: $\hat p_0$ es un operador que actúa como $\sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}$ en cada componente del espinor y tal vez debería escribirse como $\hat p_0 = \sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}\, \mathbb 1_4$ . $\hat H_0$ es el hamiltoniano de Dirac estándar (por $\vec A = 0$ y $\Phi = 0$ ) que, por supuesto, mezcla los componentes del espinor. Los dos operadores $\hat H_0$ y $c\hat p_0$ son, pues, ciertamente diferentes.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el cuadrado de ambos operadores es el mismo:

(C {\hat{pag}}_{0})^{2} = {\hat{H}}_{0}^{2} = {\hat{pag}}^{2} C^{2} + {metro}^{2} C^{4} .

$(c\hat p_0)^2 = \hat H_0^2 = \hat p^2 c^2 + m^2 c^4 .$ Cuando la expresión clásica

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}}

$E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$ está "cuantificada", no está claro a priori si la ecuación resultante debe ser

i ℏ \partial_{t} | ψ ⟩ = C {\hat{pag}}_{0} | ψ ⟩, i ℏ \partial_{t} | ψ ⟩ = {\hat{H}}_{0} | ψ ⟩, - ℏ^{2} \partial_{t}^{2} | ψ ⟩ = ({\hat{pag}}^{2} C^{2} + {metro}^{2} C^{4}) | ψ ⟩

$\mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = c\hat p_0 |\psi\rangle , \quad \mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = \hat H_0 |\psi\rangle , \quad -\hbar^2 \partial_t^2 |\psi\rangle = (\hat p^2 c^2 + m^2 c^4) |\psi\rangle$ o posiblemente algo completamente diferente. (Tenga en cuenta que la segunda es la ecuación de Dirac y la tercera es la ecuación de Klein-Gordon). Las ecuaciones de Dirac y KG son bien conocidas; Me refiero a esta pregunta para una discusión sobre las deficiencias de la primera versión.

*No sé si esta notación es estándar.

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Nicolás Engelberto

prahar

ricardo myers

Nicolás Engelberto

Javier

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Respuestas (1)

Noiralef

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