Definición de energía en relatividad especial

Question

Definición de energía en relatividad especial

Lammey

Estoy repasando las primeras tareas asignadas para mi curso de relatividad especial y estoy un poco confundido acerca de la energía. Tengo una comprensión básica de lo que es el 4-momentum, habiéndolo definido como $m\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}$ , y se muestra que esto es igual a $m\gamma (|\vec{v} |)(c,\vec{v})$ dónde $\vec{v}$ es la velocidad clásica en el marco de referencia inercial asociado a las coordenadas cartesianas anteriores.

Ahora una de mis asignaciones ha comenzado diciendo

Indicar los componentes de $p^{\mu}$ como $(E/c, \vec{p})$ ...

No entiendo por qué el componente de tiempo del vector de 4 se denota como $E/c$ . ¡No puedes simplemente ir denotando cantidades arbitrariamente por otras cantidades! Entonces, me pregunto si esta es una definición de energía relativista o si se deriva de algún otro resultado en relatividad especial.

Gracias por cualquier aclaración.

Javier

Bien,

γ m c^{2}

$\gamma m c^2$ es la energía relativista. Esto se puede demostrar de varias maneras, dependiendo de su nivel.

dmckee --- gatito ex-moderador

Ahora piensa en el cero (o cuarto dependiendo de la convención que use tu libro) del vector con el que estás trabajando. ¿Ya está clara la interpretación? Si aún no te han mostrado la energía necesaria para acelerar una masa?

usuario41976

También es posible que desee considerar las unidades.

Conde Iblis

También puede considerar la forma en que debe definirse el momento en la relatividad especial para que se convierta en una cantidad conservada. Luego, puede considerar la forma en que esto se transforma bajo las transformaciones de Lorentz, y esas transformaciones se pueden escribir de forma covariante en términos de los 4 impulsos, de modo que los últimos 3 componentes sean los componentes del impulso. Entonces se sigue inmediatamente que el componente cero también se conserva.

Respuestas (3)

Definición de energía en relatividad especial

Bien, $\gamma m c^2$ es la energía relativista. Esto se puede demostrar de varias maneras, dependiendo de su nivel.
Ahora piensa en el cero (o cuarto dependiendo de la convención que use tu libro) del vector con el que estás trabajando. ¿Ya está clara la interpretación? Si aún no te han mostrado la energía necesaria para acelerar una masa?
También puede considerar la forma en que debe definirse el momento en la relatividad especial para que se convierta en una cantidad conservada. Luego, puede considerar la forma en que esto se transforma bajo las transformaciones de Lorentz, y esas transformaciones se pueden escribir de forma covariante en términos de los 4 impulsos, de modo que los últimos 3 componentes sean los componentes del impulso. Entonces se sigue inmediatamente que el componente cero también se conserva.

david z · Answer 1

david z

Su libro puede estar tratando las cosas un poco al revés de la forma en que normalmente se hacen. La forma habitual es definir el cuatrivector de impulso como la combinación $(E/c, \vec{p})$ , dónde $E$ ya se sabe que es la energía total (lo que se reduce a $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ para $v\ll c$ ) y luego mostrar que satisface las propiedades esperadas de un cuatro vector. Pero parece que su libro define los cuatro impulsos a través de $m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}$ , para que sepa que satisface las propiedades esperadas de un cuatro vector desde el principio, y luego le pedirán que demuestre que el componente de tiempo de este cuatro vector tiene un límite de velocidad bajo de $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ .

Probablemente estén usando la notación $E/c$ para ser sugerente, pero en esta etapa, es solo una notación arbitraria, es decir, no tienen la intención $E$ para significar energía todavía. Si lo prefiere, puede utilizar $p_t$ o algo en su lugar, hasta que demuestres que es igual a la energía total dividida por $c$ .

Lammey

¡Gracias por la respuesta! Tienes razón: miré hacia adelante y eso es exactamente lo que han hecho. Después de mostrar que

E ≅ m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

$E\cong mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ en el limite

v << c

$v<<c$ , escriben "hemos encontrado que

E

$E$ es la energía". ¿Pero no hay un montón de funciones cuyo límite de baja velocidad es la energía clásica? Debe haber una mejor razón para definir la energía como

m c^{2} γ

$mc^2\gamma$

david z

Sí, pasé por alto ese detalle por simplicidad, pero mostrando eso

E

$E$ tiene ese límite de baja velocidad no es suficiente para demostrar que es la energía. Pero una prueba real se vuelve un poco complicada; lo que implica dependerá de lo que se considere la definición fundamental de energía. Por ejemplo, podría requerir que sea una cantidad conservada para cierta clase de sistemas físicos, o podría definirlo como el valor del hamiltoniano, o podría definirlo como lo que se transforma como el componente de tiempo de un vector de cuatro y es igual a

m c^{2}

$mc^2$ en el marco de descanso, etc.

david z

Por cierto, todas estas definiciones son equivalentes (excepto tal vez para algunos sistemas físicos muy extraños), pero la forma en que haces tu prueba depende de la definición que elijas.

usuario12262

@DavidZ: " [...] o definirlo como lo que se transforma como el componente de tiempo de un vector de cuatro y es igual a $mc^2$ en el marco de descanso " -- ¿Proporcionaría esto una definición única de "energía"? ¿Habría una razón (además del "hábito") para rechazar, por ejemplo

\tilde{mi} [v] := \frac{metro C^{4}}{\sqrt{C^{4} - | v |^{4}}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := \frac{m~c^4}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }},$ junto con alguna "parte espacial" adecuada

\tilde{pag} [v] := \frac{metro C^{2} | v | v}{\sqrt{C^{4} - | v |^{4}}}

$\tilde{ \mathbf p}[ \mathbf v ] := \frac{m~c^2~| \mathbf v |~\mathbf v}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }}$ ? (OTOH, ¿estos componentes incluso constituyen un 4-vector legítimo ? ...)

david z

@ user12262 cierto, no sería único. Lo que tenía en mente era que los componentes espaciales también tendrían que reducirse a un momento no relativista en el límite de baja velocidad. Eso puede ser suficiente para definir de forma única la energía (aunque no estoy seguro).

usuario12262

@DavidZ: " Lo que tenía en mente era que los componentes espaciales también tendrían que reducirse a un impulso no relativista en el límite de baja velocidad. Eso puede ser suficiente para definir de forma única la energía (aunque no estoy seguro). " - - Se me podría ocurrir (no del todo de improviso), por ejemplo, con

\tilde{mi} [v] := metro \sqrt{C^{2} + | v |^{2}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := m~\sqrt{c^2+|\mathbf v|^2},$

\tilde{pag} [v] := metro v .

$\tilde{\mathbf p}[ \mathbf v ] := m~\mathbf v.$ Lo que tengo en mente, en cualquier caso, es buscar primero un fundamento riguroso para las nociones físicas, luego evaluar los límites posibles y considerar su relación con los posibles prejuicios históricos solo después.

usuario12262 · Answer 2

No entiendo por qué el componente de tiempo del vector de 4 [ $m~\gamma(|\vec v|)~(c, \vec v)$ ] se denota como $E/c$ .

Entonces, la pregunta subyacente es doble:
¿Por qué la "energía" se considera el componente de tiempo de algún 4-vector?, y ¿Por qué esta expresión de componente de tiempo específico, entre los componentes de tiempo de todos los diferentes 4-vectores imaginables?
(Donde obviamente nos referimos a "energía de algo que se caracteriza por $m$ "," con respecto al sistema o marco de referencia que determinó el valor $|\vec v|$ de ese algo").

Una definición adecuadamente general y fácilmente aplicable de (cómo medir) "energía" parece ser "componente temporal del generador de traslaciones" (
o "generador de sucesión"; junto con la definición de cómo medir los componentes espaciales correspondientes, es decir, de impulso como "generador de traducciones" ):

\hat{mi} :≃ \frac{d}{d t} [] .

$\hat E :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big].$

Aplicando este operador a $\tau(\vec v)$ (¿a qué más?) rendimientos (según mi ingenuo cálculo):

\hat{mi} [τ (\vec{v})] :≃ \frac{d}{d t} [t \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}] := \frac{d}{d t} [t \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C t})}^{2}}] =

$\hat E\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } \big] =$

= \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C t})}^{2}} - \frac{\frac{t}{(- t^{3})} {(\frac{| \vec{X} |}{C^{2}})}^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C t})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C t})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}},

$= \sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } - \frac{\frac{t}{(-t^3)}~\left(\frac{|\vec x|}{c^2}\right)^2}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } },$

donde obviamente $|\vec v| := |\vec x| / t$ .

Un ejercicio similar con un componente del operador de cantidad de movimiento $\hat p_x :\simeq \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big]$ resultados en:

{\hat{pag}}_{X} [τ (\vec{v})] :≃ \frac{d}{d t} [t \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}] := \frac{d}{d t} [t \sqrt{1 - \frac{X^{2} + y^{2} + z^{2}}{(C t)^{2}}}] =

$\hat p_x\!\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \frac{x^2 + y^2 + z^2}{(c~t)^2} } \big] =$

= - \frac{t X}{(C t)^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{X^{2} + y^{2} + z^{2}}{C t})}^{2}}} = \frac{- X}{t C^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{X^{2} + y^{2} + z^{2}}{C t})}^{2}}} = - \frac{v_{X}}{C^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}})},

$= -\frac{t~x}{(c~t)^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = \frac{-x}{t~c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = -\frac{v_x}{c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } )},$

con $x$ , $y$ , $z$ denotando distancias en tres direcciones ortogonales, en un espacio plano, por supuesto.

Con constantes de proporcionalidad adecuadas

\hat{mi} := metro C^{2} \frac{d}{d t} []

$\hat E := m~c^2~ \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big]$ y

{\hat{pag}}_{X} := metro C^{2} \frac{d}{d X} [], {\hat{pag}}_{y} := metro C^{2} \frac{d}{d y} [], {\hat{pag}}_{z} := metro C^{2} \frac{d}{d z} []

$\hat p_x := m~c^2~ \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_y := m~c^2~ \frac{d}{dy}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_z := m~c^2~ \frac{d}{dz}\!\!\big[ ~ \big]$

entonces juntos

(\frac{1}{C^{2}} (\hat{mi})^{2} - ({\hat{pag}}_{X})^{2} - ({\hat{pag}}_{y})^{2} - ({\hat{pag}}_{z})^{2}) [τ (\vec{v})] = (metro C)^{2}

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E)^2 - (\hat p_x)^2 - (\hat p_y)^2 - (\hat p_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2$

que es un resultado evidentemente independiente de $\vec v$ , por lo tanto, una característica invariable del "algo" cuyas componentes de energía y cantidad de movimiento estaban siendo determinadas; y $(\frac{E}{c}, \vec p)$ es una expresión de 4 vectores correspondiente.

Todo esto se aplica en el caso más simple de que el "algo" que se caracteriza por el invariante $m$ es gratis". Si, en cambio, entra en consideración un "potencial", entonces el invariante se expresa más bien como

(\frac{1}{C^{2}} (\hat{mi} - q A_{t})^{2} - ({\hat{pag}}_{X} - q A_{X})^{2} - ({\hat{pag}}_{y} - q A_{y})^{2} - ({\hat{pag}}_{z} - q A_{z})^{2}) [τ (\vec{v})] = (metro C)^{2},

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E - q~A_t)^2 - (\hat p_x - q~A_x)^2 - (\hat p_y - q~A_y)^2 - (\hat p_z - q~A_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2,$

dónde $\mathbf A := (\frac{A_t}{c}, \vec A)$ es un potencial de 4 vectores adecuado (cuyos componentes pueden a su vez expresarse como derivados de una "función de fase" adecuada $\alpha( \mathbf x )$ ), y $q$ representa un "cargo".

¡Gracias por la respuesta! Sabía que la energía y el impulso eran operadores en Mecánica Cuántica, pero aún no los he visto como operadores en ninguna otra cosa; podría llevarme un tiempo entender esto.
@James Machin: "¡ Gracias por la respuesta! " -- Claro; gracias a su vez por preguntar. " [...] puede que me lleve un tiempo entender esto " -- Yo también...

Carey R. Carlson · Answer 3

Sin cálculo, la Relatividad Especial se trata en la teoría completamente discreta de los "conjuntos causales". Einstein sugirió que una teoría discreta del espacio-tiempo podría proporcionar una métrica inherente, mientras que un continuo requiere que se imponga una métrica como accesorio del espacio-tiempo. En la teoría de conjuntos causales, la variedad se formula en términos de tiempo únicamente, y las relaciones espaciales primitivas quedan excluidas de la teoría. (Si tiene éxito, eso constituiría la primera reducción de parámetros en física desde la reducción original de Newton). Noté, en un diagrama de conjunto causal de 3 flechas, que se forman relaciones de frecuencia, útiles para definir relaciones de energía de acuerdo con E = hf de Planck . El "vínculo causal", o transición temporal discreta, está implicado como el cuanto de las relaciones de energía, o simplemente el cuanto de energía. Tenemos aquí una definición estructural de energía y su cuanto, en términos de tiempo solamente, ilustrada en el caso más simple por un diagrama de tiempo de 3 flechas. Así tenemos la posibilidad de reducir el espacio, el tiempo y la energía a conjuntos causales, que son simplemente formaciones generadas por pura sucesión temporal. Consulte "Teoría de conjuntos causales y el origen de la relación de masas".http://vixra.org/pdf/1006.0070v1.pdf

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