¿Cómo derivar o justificar las expresiones de operador de cantidad de movimiento y operador de energía?

Se ha señalado aquí$\! { \, }^{\text(1, 2)}$, por ejemplo, que

$$\mathbf{F} = \frac{d}{dt}\!\!\biggl[ \, \mathbf{p} \, \biggr]$$

es cierto en todos los contextos.

Asimismo, en contextos notables es aparentemente cierto que

$$\mathbf{F} = - \nabla \Phi := - \frac{d}{d\mathbf{r}}\!\!\biggl[ \, \Phi \, \biggr].$$

¿Es esta, en pocas palabras, una justificación suficiente y válida para establecer (en los contextos adecuados correspondientes)
el operador de cantidad de movimiento como$\! { \, }^{\text(3)}$

$$\mathbf{\hat p } \propto -i \nabla := -i\frac{d}{d\mathbf{r}}$$

y estableciendo el operador de energía (potencial) como$\! { \, }^{\text(4)}$

$$\hat \Phi \propto i\frac{d}{dt}$$

y ambos con la misma constante de proporcionalidad,$\hbar$, por lo que

$$\mathbf{\hat F} = \frac{d}{dt}\biggl[-i\hbar\frac{d}{d\mathbf{r}}\biggr] = -\frac{d}{d\mathbf{r}} \biggl[i\hbar\frac{d}{dt}\biggr] \sim \frac{d^2}{dt \, d\mathbf{r}} = \frac{d^2}{d\mathbf{r} \, dt}$$

?

EDITAR (relacionado simplemente con trámites):

(${ \, }^{\text 1}$: Tenga en cuenta que la afirmación que se debe señalar aquí se expresó explícitamente en la forma

$F = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$es cierto en todos los contextos.

Sin embargo, dado que parece admisible tomar nota de una afirmación sin citarla estrictamente y aferrarse a su expresión literal original (como ya se había supuesto tácitamente en la declaración inicial de mi pregunta , y como parece confirmarse así ) me gustaría , en la medida de lo posible sin ambigüedades, para expresar la operación de " diferenciación " consistentemente usando (una forma de) la notación de Leibniz ).

(${ \, }^{\text 2}$: tenga en cuenta que la pregunta cuya notable respuesta a la que se ha hecho referencia anteriormente se ha etiquetado (principalmente) como " https://physics.stackexchange.com/questions/tagged/newtonian-mechanics ").

(${ \, }^{\text 3}$: Tenga en cuenta que la expresión indicada del operador de cantidad de movimiento se establece explícitamente allí como

${\bf \hat p } = -i \hbar \nabla$

y

En una dimensión espacial esto se convierte en:$\hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}$,

donde el símbolo nabla ($\nabla$) está relacionado con http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative#Notation .)

(${ \, }^{\text 4}$: Tenga en cuenta que la expresión indicada del operador de energía se establece explícitamente allí como

$\hat{E} = i\hbar\frac{\partial }{\partial t}$.

)