¿Derivación de E=pcE=pcE=pc para una partícula sin masa?

Question

¿Derivación de E=pcE=pcE=pc para una partícula sin masa?

nickyr

En la mecánica clásica, las partículas sin masa no existen porque para $m=0$ , $p=0$ .

La relación relativista entre energía, masa y cantidad de movimiento espacial es: $E^2= (pc)^2 + (mc^2)^2$ . Por eso se dice que el ajuste $m=0$ en la primera ecuacion se obtiene $E=pc$ .

¿Cómo podría configurar $m=0$ en esa ecuación te dan $E=pc$ mientras que $p$ aparece en la ecuación y sabemos $p=γmu$ ? si configuras $m=0$ tendrás indeterminación debido a " $γm$ " . Me parece que estamos haciendo un "truco" para conseguir el $E=pc$ . ¿Quizás hay otra prueba para esta relación?

usuario12029

¿Por qué no empezar con las ecuaciones de Maxwell y una onda plana?

fqq

p = γ m u

$p=\gamma m u$ se mantiene solo para partículas masivas

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/2229/2451 y enlaces allí.

garyp

En particular, en la pregunta citada por @Qmechanic, vea esta respuesta .

david z

@Qmechanic está estrechamente relacionado, por supuesto, pero esto parece estar preguntando sobre un problema conceptual específico con las definiciones de los conceptos relevantes. No creo que sea un duplicado del #2229. Puede que sea un duplicado de #119490 , pero aun así, lo veo lo suficientemente diferente.

nickyr

@garyp Sí, eso es exactamente lo que estaba viendo. Aún así, no responde a mi pregunta.

kyle kanos

Probablemente más cerca de physics.stackexchange.com/q/116464

Respuestas (5)

¿Derivación de E=pcE=pcE=pc para una partícula sin masa?

¿Por qué no empezar con las ecuaciones de Maxwell y una onda plana?
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/2229/2451 y enlaces allí.
En particular, en la pregunta citada por @Qmechanic, vea esta respuesta .
@Qmechanic está estrechamente relacionado, por supuesto, pero esto parece estar preguntando sobre un problema conceptual específico con las definiciones de los conceptos relevantes. No creo que sea un duplicado del #2229. Puede que sea un duplicado de #119490 , pero aun así, lo veo lo suficientemente diferente.
@garyp Sí, eso es exactamente lo que estaba viendo. Aún así, no responde a mi pregunta.
Probablemente más cerca de physics.stackexchange.com/q/116464

púlsar · Answer 1

Tenga en cuenta que la ecuación

{mi}^{2} = {pag}^{2} C^{2} + {metro}^{2} C^{4}

$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ se deriva de las relaciones

\begin{aligned} (1) & mi = γ metro C^{2}, pag = γ metro v . \end{aligned}

$\begin{align} E = \gamma mc^2,\qquad p = \gamma m v. \tag{1} \end{align}$ Por lo tanto

\begin{matrix} (2) & pag = mi \frac{v}{C^{2}} . \end{matrix}

$p = E\frac{v}{c^2}.\tag{2}$ Aunque (1) solo se define para partículas masivas, resulta que (2) sigue siendo válido cuando

v = c

$v=c$ , es decir, para partículas sin masa. De hecho, obtenemos

mi = pag C,

$E= pc,$ lo cual es consistente con el electromagnetismo y la física cuántica.

Así que no derivas E=pc de la primera relación, sino de (2), que de hecho deriva de (1). La pregunta es cómo es posible derivarla de la primera ecuación.
@NickyR Equation 1 es incorrecta en el sentido de que es un caso especial. La ecuación 2 es correcta y también lo es la ecuación 0. Preguntar cómo derivar una ecuación correcta de una incorrecta no es una buena pregunta. De 1 puede obtener 0, que es más general, y 0 es realmente correcto, a diferencia de 1, que solo se cumple algunas veces. Y 0 tiene un significado geométrico de que el vector de impulso de energía tiene una longitud de m. Para obtener la velocidad, puede observar los puntos del vector de impulso de energía en la dirección tangente a la línea de mundo. O definir $p=\sqrt{E^2/c^2-m^2c^2}$ como la definición más general de p en lugar de la incorrecta (1).

petirrojo · Answer 2

La definición de impulso no es $\gamma m \dot x$ . La definición correcta de impulso es que es el generador de traslaciones. Luego encuentra que para representaciones masivas del grupo de Lorentz (~ curvas temporales), $p = m \gamma \dot x$ , mientras que para representaciones sin masa (~curvas similares a la luz), $p$ es arbitrario, siempre y cuando $E = pc$ .

Otra forma de verlo es que para las partículas que se mueven en curvas temporales, la derivada con respecto al tiempo propio es una cantidad covariante, porque el tiempo propio es invariante. Pero para las curvas ligeras, no hay un momento adecuado. Hay parámetros afines que son análogos, pero hay un número infinito de ellos y ninguno es privilegiado, por lo que esto no da una definición única de impulso.

Estoy confundido: la definición de impulso como generador de traslaciones aparece, que yo sepa, en la mecánica cuántica. ¿Hay alguna manera de describir lo mismo usando solo la relatividad especial? sin olas?
El concepto de generador de traslaciones se aplica también a la mecánica clásica en la formulación hamiltoniana. La diferencia es que clásicamente el generador es un campo vectorial, mientras que el generador cuántico es un operador. Pero son análogos porque los campos vectoriales y los operadores son álgebras de Lie.
¿Podrías explicar un poco más? o señalar lugares donde leer al respecto? Tengo algunos problemas para encontrarlo.
@fffred Creo que la analogía es una idea algo "profunda" que se obtiene después de leer mucho de varias fuentes, pero recomendaría los Métodos matemáticos de la mecánica clásica de Armold, porque habla mucho sobre la estructura del álgebra de mentira en la mecánica hamiltoniana.
Considere la mecánica hamiltoniana en coordenadas canónicas $(x,p)$ . Entonces mapa de traducciones $(x,p) \mapsto (x+a,p)$ . Claramente, el campo vectorial que genera esto es $\partial/\partial q$ . Pero en coordenadas canónicas la forma simpléctica es $dq\wedge dp$ , entonces $\partial/\partial q \mapsto dp$ . Por lo tanto, si bien es estrictamente hablando $\partial/\partial q$ que es el generador de traslaciones, lo podemos asociar con la coordenada p de esta forma.
Ojalá pudiera votar esta respuesta más de una vez. Demasiados dejan la licenciatura sin una buena comprensión del teorema de Noether y los conceptos relacionados.

charles hudgins · Answer 3

La relación (entorno $c = 1$ )

{mi}^{2} = {metro}^{2} + {pag}^{2}

$E^2 = m^2 + p^2$ es más fundamental que

E = γ m c^{2}

$E = \gamma m c^2$ y

p = γ m v

$p = \gamma m v$ .

El primero surge naturalmente como una restricción primaria de variar la acción

S = - metro \int \sqrt{{\dot{X}}^{m} η_{m v} {\dot{X}}^{v}} d λ

$S = -m \int \sqrt{\dot{x}^\mu \eta_{\mu \nu} \dot{x}^\nu} \, d\lambda$ Estas últimas expresiones solo surgen cuando se elige la parametrización

λ = t

$\lambda = t$ .

proyecto de ley n · Answer 4

Si se considera que la relación de DeBroglie se cumple para los fotones, tenemos

pag = \frac{h}{λ} = \frac{h F}{C} = \frac{mi}{C}

$p=\frac{h}{\lambda} = \frac{hf}{c} = \frac{E}{c}$ que inmediatamente nos da

mi = pag C .

$E=pc.$

Esto es consistente con la magnitud de cuatro vectores de energía invariante de Lorentz que produce la masa de una partícula:

metro C^{2} = \sqrt{{mi}^{2} - (pag C)^{2}} = 0.

$mc^2=\sqrt{E^2-(pc)^2}=0.$

arturo don juan · Answer 5

Para todas las partículas, $p^{\mu}=(E,\vec{p})$ y $p^{\mu}p_{\mu}\equiv m^2$ (utilizando la métrica mayoritariamente negativa). De este modo $E=\pm \sqrt{m^2+|\vec p|^2}$ . si configuras $m^2=0$ , usted obtiene $E=\pm |\vec p|$ . El aspecto no trivial de estas definiciones es que $E$ debe identificarse literalmente como la energía, y $\vec p$ como el momento espacial (entonces en el límite clásico $E=p^2/2m + \textrm{const.}$ ).

Para partículas masivas con energía positiva ( $m^2>0$ , $E>0$ ), el 4-momento y la 4-velocidad están relacionados por la ecuación

{pag}^{m} = metro {tu}^{m}

$p^{\mu}=m\,u^{\mu}$

mientras que para partículas sin masa con energía positiva ( $m^2=0$ , $E>0$ ), la relación entre el 4-momento y la 4-velocidad viene dada por:

{pag}^{m} = mi {tu}^{m}

$p^{\mu}=E\,u^{\mu}$

dónde $u^{\mu}$ es un vector de cono de luz.

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