¿La energía del estado fundamental de un campo cuántico es realmente cero?

Question

¿La energía del estado fundamental de un campo cuántico es realmente cero?

vacío
Física
antimateria
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Juan Eastmond

Comienzo describiendo lo poco que sé sobre los conceptos básicos de la teoría cuántica de campos.

La teoría de campo relativista más simple se describe mediante la ecuación de movimiento de Klein-Gordon para un campo escalar $\phi(\vec{x},t)$ :

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} ϕ + {metro}^{2} ϕ = 0.

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+m^2\phi=0.$ Podemos desacoplar los grados de libertad entre sí tomando la transformada de Fourier:

ϕ (\vec{X}, t) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} ϕ (\vec{pag}, t) .

$\phi(\vec{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{x}}\phi(\vec{p},t).$ Reemplazando en la ecuación de Klein-Gordon encontramos que

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ satisface la ecuación armónica simple del movimiento

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} = - ({\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}) ϕ .

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-(\vec{p}^2+m^2)\phi.$ Por lo tanto, para cada valor de

\vec{p}

$\vec{p}$ ,

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ resuelve la ecuación de un oscilador armónico que vibra a frecuencia

ω_{\vec{pag}} = + \sqrt{{\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}} .

$\omega_\vec{p}=+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}.$ Por tanto, la solución general de la ecuación de Klein-Gordon es una superposición lineal de osciladores armónicos simples con frecuencia

ω_{\vec{p}}

$\omega_\vec{p}$ . Cuando se cuantifican estos osciladores armónicos, encontramos que cada uno tiene un conjunto de niveles discretos de energía positiva dados por

{mi}_{norte}^{pag} = ℏ ω_{\vec{pag}} (norte + \frac{1}{2})

$E^p_n=\hbar\omega_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ para

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ dónde

n

$n$ se interpreta como el número de partículas con momento

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Mi pregunta es ¿qué pasa con las soluciones de osciladores armónicos que vibran a frecuencia negativa?

{\bar{ω}}_{\vec{pag}} = - \sqrt{{\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}} ?

$\bar{\omega}_\vec{p}=-\sqrt{\vec{p}^2+m^2}?$

Cuando estos osciladores armónicos se cuantifican, obtenemos un conjunto de niveles discretos de energía negativa dados por

{\bar{mi}}_{norte}^{pag} = ℏ {\bar{ω}}_{\vec{pag}} (norte + \frac{1}{2})

$\bar{E}^p_n=\hbar\bar{\omega}_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ para

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ dónde

n

$n$ ahora se puede interpretar como el número de antipartículas con impulso

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Si esto es correcto, entonces la energía total del estado fundamental, por impulso $\vec{p}$ , es dado por

\begin{array}{rcl} T_{0}^{pag} & = & {mi}_{0}^{pag} + {\bar{mi}}_{0}^{pag} \\ = & \frac{ℏ \sqrt{{\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}}}{2} + \frac{- ℏ \sqrt{{\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}}}{2} \\ = & 0. \end{array}

$\begin{eqnarray} T^p_0 &=& E^p_0+\bar{E}^p_0\\ &=& \frac{\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2} + \frac{-\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2}\\ &=& 0. \end{eqnarray}$

Por lo tanto, la energía total del estado fundamental, $T_0$ , es cero; no hay energía de punto cero.

¿Tiene sentido esta interpretación de las soluciones de frecuencia negativa?

probablemente_alguien

Relacionado: physics.stackexchange.com/questions/364240/… en el que se ve que la energía total del campo real de Klein-Gordon en cualquier estado es infinita.

Respuestas (2)

¿La energía del estado fundamental de un campo cuántico es realmente cero?

Relacionado: physics.stackexchange.com/questions/364240/… en el que se ve que la energía total del campo real de Klein-Gordon en cualquier estado es infinita.

una mente curiosa · Answer 1

No, esto no tiene ningún sentido. No hay osciladores de momento negativo aquí. En el espacio de momento, el hamiltoniano de un campo escalar real libre $\phi$ es

H = \int (\frac{1}{2} | Π (\vec{pag}) |^{2} + \frac{ω_{pag}^{2}}{2} | ϕ (\vec{pag}) |^{2}) \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}},

$H = \int \left(\frac{1}{2} \lvert \Pi(\vec p) \rvert^2 + \frac{\omega_p^2}{2} \lvert \phi(\vec p) \rvert^2 \right)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3},$ dónde

ω_{p} = \sqrt{{\vec{p}}^{2} + m^{2}}

$\omega_p = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ . No hay ambigüedad de signo:

ω_{p}

$\omega_p$ siempre es positivo, y el campo escalar libre puede verse como una colección de tales osciladores con frecuencia positiva, uno para cada impulso

\vec{p}

$\vec p$ .

Las "soluciones de frecuencia negativa" de las que probablemente haya oído hablar son algo diferente: en la expansión del modo para el campo en el espacio de posición, tenemos

ϕ (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} (a (\vec{pag}) Exp (i pag X) + a^{†} (\vec{pag}) Exp (- i pag X))

$\phi( x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left( a(\vec p) \exp(\mathrm{i}px) + a^\dagger(\vec p)\exp(-\mathrm{i}px)\right)$ y la interpretación teórica pre-cuántica del campo de

ϕ (x)

$\phi(x)$ como una función de onda ahora identificaría

a (\vec{p}) \exp (i p x)

$a(\vec p)\exp(\mathrm{i}px)$ como una "solución de frecuencia negativa" ya que un estado propio hamiltoniano evoluciona como

\exp (- i ω_{p} t)

$\exp(-\mathrm{i}\omega_pt)$ pero esto contiene el término

\exp (i ω_{p} t)

$\exp(\mathrm{i}\omega_p t)$ . Dado que la teoría cuántica de campos no identifica

ϕ (x)

$\phi(x)$ como solución a la ecuación de Schrödinger, no hay problema con este término aquí.

mis2cts · Answer 2

No hay niveles de energía negativa. Los niveles de energía que pertenecen a las frecuencias negativas también son positivos. La energía de Noether es proporcional a $\omega^2$ dividido por el cuadrado de una norma proporcional a $\sqrt{\omega}$ , por lo que es definida positiva. La frecuencia angular puede ser positiva o negativa pero su signo determina el signo de la carga.

¿Por qué la energía es proporcional a $\omega^2$ ? ¿De dónde sacaste esto? ¿Y cómo implica eso que es positivo-definido? $A=-\omega^2$ también es proporcional a $\omega^2$ , pero es definida negativa.
@accidentalfouriertransform Tienes toda la razón. - E es definida negativa . El punto es que cambiando el signo de $\omega$ no cambia el signo de la energía, sólo el de la carga.

¿La energía del estado fundamental de un campo cuántico es realmente cero?

Juan Eastmond

probablemente_alguien

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una mente curiosa

mis2cts

AccidentalFourierTransformar

mis2cts

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