Energía de vacío de un campo de Klein-Gordon real

Question

Energía de vacío de un campo de Klein-Gordon real

vacío
Física
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

física101

El hamiltoniano para un campo de Klein-Gordon se puede escribir como:

\begin{matrix} (1) & H = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3} ω_{\vec{pag}}} [a_{\vec{pag}}^{†} a_{\vec{pag}} + \frac{1}{2} (2 π)^{3} d^{(3)} (0) .] \end{matrix}

$H= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 \omega_{\vec{p}}}[a^{\dagger}_\vec{p}a_\vec{p}+\frac{1}{2}(2\pi)^3\delta^{(3)}(0).\tag{1}]$ En una de mis notas de clase sobre QFT, está escrito que: en ausencia de gravedad, podemos despreciar el segundo término en la ecuación anterior, lo que nos llevará a:

\begin{matrix} (2) & H = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3} ω_{\vec{pag}}} a_{\vec{pag}}^{†} a_{\vec{pag}} . \end{matrix}

$H= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 \omega_{\vec{p}}}a^{\dagger}_\vec{p}a_\vec{p}.\tag{2}$ Es obvio que el segundo término de la primera ecuación hará que la energía del vacío sea infinita. ¿Pero descuidar este término es lo mejor que podemos hacer? Algo es infinito y solo para nuestra conveniencia, lo estamos poniendo a cero. ¿Cómo es esto lógica y matemáticamente justificable? En segundo lugar, ¿cuál es el papel de la gravedad en el descuido de este término? ¿Por qué no podemos despreciar este término si la gravedad está presente?

Oro

La forma en que los físicos suelen justificarlo es diciendo que solo importan las diferencias de energía, por lo que el término ignorado se cancelaría de todos modos, por lo que podemos descartarlo. El problema con la gravedad es que cuando GR entra en juego, la energía misma actúa como una fuente de gravedad en virtud de la ecuación de Einstein. Entonces no solo importan las diferencias de energía y este argumento no se aplicaría.

Profesor Legolasov

Generalmente, el proceso de cuantización (es decir, pasar de la teoría clásica a la teoría cuántica del mismo fenómeno) es ambiguo . Las dos formas (ecuaciones (1) y (2) en su pregunta) están relacionadas reordenando de

a

$a$ y

a^{†}

$a^{\dagger}$ . La física clásica es insensible al reordenamiento de operadores, por lo que ambos términos son igualmente buenos para describir el comportamiento clásico. En QFT, sin embargo, la segunda forma conduce a una teoría bien definida, mientras que la primera forma no. Es lógico suponer que en la teoría cuántica, la segunda forma es la expresión correcta.

AccidentalFourierTransformar

posible duplicado: physics.stackexchange.com/questions/296803

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Energía de vacío de un campo de Klein-Gordon real

La forma en que los físicos suelen justificarlo es diciendo que solo importan las diferencias de energía, por lo que el término ignorado se cancelaría de todos modos, por lo que podemos descartarlo. El problema con la gravedad es que cuando GR entra en juego, la energía misma actúa como una fuente de gravedad en virtud de la ecuación de Einstein. Entonces no solo importan las diferencias de energía y este argumento no se aplicaría.
Generalmente, el proceso de cuantización (es decir, pasar de la teoría clásica a la teoría cuántica del mismo fenómeno) es ambiguo . Las dos formas (ecuaciones (1) y (2) en su pregunta) están relacionadas reordenando de $a$ y $a^{\dagger}$ . La física clásica es insensible al reordenamiento de operadores, por lo que ambos términos son igualmente buenos para describir el comportamiento clásico. En QFT, sin embargo, la segunda forma conduce a una teoría bien definida, mientras que la primera forma no. Es lógico suponer que en la teoría cuántica, la segunda forma es la expresión correcta.
posible duplicado: physics.stackexchange.com/questions/296803

una mente curiosa · Answer 1

La energía del vacío es el ejemplo más simple y temprano de un fenómeno que afecta a muchas teorías cuánticas de campos: las divergencias. De hecho, exhibe dos tipos de divergencias. Partimos de la expresión para el hamiltoniano:

H = \int (ω_{pag} a^{†} (pag) a (pag) + \frac{1}{2} ω_{pag} (2 π)^{3} d (0)) \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}}

$H = \int \left(\omega_p a^\dagger(p)a(p) + \frac12\omega_p (2\pi)^3 \delta(0)\right)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}$ e introducir la taquigrafía

E_{0} = \frac{1}{2} \int ω_{p} δ (0) d^{3} p

$E_0 = \frac12 \int \omega_p \delta(0)\mathrm{d}^3 p$ para el segundo término.

Infrarrojos (IR) divergencia: $E_0$ es divergente porque estamos calculando la energía en un volumen infinito! Una mejor cantidad para mirar es la densidad de energía.
$ϵ_{0} = \frac{1}{2} \int ω_{pag} \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}}$ $\epsilon_0 = \frac12 \int \omega_p \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}$ .
Divergencia ultravioleta (UV): Desafortunadamente, $\epsilon_0$ sigue siendo divergente porque
$ϵ_{0} = \frac{1}{(2 π)^{2}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{| pag |^{2} + {metro}^{2}} | pag |^{2} d | pag |$ $\epsilon_0 = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty \sqrt{\lvert p\rvert^2 + m^2} \lvert p \rvert^2\mathrm{d}\lvert p\rvert$ no converge. Sin embargo, es claramente finito para cualquier límite superior $\Lambda < \infty$ de la integral. Este es el primer indicio de que, en general, se debe pensar en QFT como una teoría efectiva que se aproxima a otra teoría fundamental subyacente diferente. Por lo tanto, los QFT generalmente vienen con algún tipo de "corte" $\Lambda$ de los momentos/energías permitidos.

La energía del vacío también nos permite vislumbrar otra característica de los QFT: deshacerse de tales divergencias mediante la renormalización. Sin cambiar la dinámica, podemos agregar un término $\int\mathrm{d}^3 V_0$ al hamiltoniano clásico, es decir, añadir una densidad de energía constante. En la teoría cuántica con un corte $\Lambda$ , la densidad de energía total del vacío es ahora

ϵ_{0} (Λ) + V_{0},

$\epsilon_0(\Lambda) + V_0,$ pero desde

V_{0}

$V_0$ fue arbitrario, se nos permite establecer

V_{0} = - ϵ_{0} (Λ)

$V_0 = -\epsilon_0(\Lambda)$ , haciendo que la densidad de energía total del vacío sea cero * incluso si levantamos

Λ \to \infty

$\Lambda\to\infty$ de nuevo. Esta es la razón por la que se nos permite despreciar la energía del vacío en teorías sin gravedad: se puede volver a normalizar muy fácilmente.

Sin embargo, en una teoría con gravedad, $V_0$ participa en la dinámica - ¡es esencialmente la constante cosmológica! Por lo tanto, no se nos permite elegir su valor como mejor nos parezca, y no podemos deshacernos de la energía del vacío mediante esa elección.

youpilat13 · Answer 2

Por lo general, no intento responder preguntas sobre temas con los que no estoy muy familiarizado, pero esto sería una excepción.

Según he leído, la razón es que, en los experimentos, solo podemos medir los intercambios de energía, es decir, la diferencia de energías. Esto significa que puede hacer su dato en cualquier lugar que desee. En este caso, elegimos el infinito exacto que produce el segundo término como nuestro dato y, por lo tanto, en este sentido redefinido, solo el primer término es nuestra energía.

La gravedad lo complica todo porque la gravedad ve todo y todos ven la gravedad. Es decir que en la gravedad no puedes poner tu dato de energía donde quieras. Hay un significado para la energía cero absoluta porque eso significaría que no hay efectos gravitacionales. Pero si hay algo de energía, significa que habrá algún efecto gravitatorio. Por lo tanto, si considera la gravedad, entonces el segundo término creará efectos medibles a través de la producción de gravedad y, por lo tanto, no puede simplemente ignorarlo. Pero me gustaría agregar mis dos centavos al decir que dado que obtuvimos la ecuación real a través de métodos que no se relacionan con la gravedad, podría ser el caso de que ya cambie el dato en cierta cantidad para que no coincida con la expresión de energía que habría obtenido si hubiera utilizado el dato como cero en el sentido de los efectos gravitacionales. De este modo, podría darse el caso de que la totalidad del segundo término se produzca realmente debido a este cambio inherente de dato que se realiza mediante el método no gravitacional que usamos para derivar la expresión en primer lugar. Pero como dije, estos son mis dos centavos: no pretendo haberlos leído en ninguna parte. El resto de la respuesta se basa en las notas de clase de David Tong sobre QFT.

¿Quiere decir que no aparecerán infinitos si tenemos en cuenta la gravedad y tendremos una energía de vacío medible?
@física101 No, no. No pretendo eso. Solo especulo que podría ser el caso. La respuesta a su pregunta se encuentra en mis declaraciones antes de agregar mis "dos centavos".

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