La ecuación del replicador vs la ecuación de Lotka-Volterra

Question

La ecuación del replicador vs la ecuación de Lotka-Volterra

Biología
ecología
evolución
seleccion natural
biología-teórica
teoría-evolutiva-de-juegos

falso

Fondo

La ecuación del replicador con $n$ estrategias está dada por la ecuación diferencial:

{\dot{X}}_{i} = X_{i} (\sum_{j = 1}^{norte} a_{i j} X_{j} - ϕ) i = 1, \dots, norte

$\begin{equation} \dot x_{i} = x_{i} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} - \phi \right) \qquad i = 1, \ldots, n \end{equation}$ dónde

x_{i}

$x_i$ es la frecuencia de la estrategia

i

$i$ ,

A = [a_{i j}]

$A=[a_{ij}]$ es la matriz de pagos, y

ϕ

$\phi$ es la aptitud promedio de la población. Básicamente, lo que dice la ecuación del replicador es que la tasa de aumento de la estrategia

i

$i$ (es decir,

{\dot{x}}_{i} / x_{i}

$\dot x_i/ x_i$ ) es la diferencia entre la aptitud de

i

$i$ (es decir,

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}

$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}$ ) y la aptitud promedio

ϕ

$\phi$ de toda la población.

La ecuación de Lotka-Volterra con $n-1$ especie es:

{\dot{y}}_{i} = y_{i} (r_{i} + \sum_{j = 1}^{norte - 1} b_{i j} y_{j}) i = 1, \dots, norte - 1

$\begin{equation} \dot y_{i} = y_{i} \left(r_{i} + \sum_{j=1}^{n-1} b_{ij}y_{j}\right) \qquad i=1, \ldots , n-1 \end{equation}$ dónde

y_{i}

$y_i$ es la abundancia de especies

i

$i$ ,

r_{i}

$r_i$ la tasa de crecimiento intrínseco, y

b_{i j}

$b_{ij}$ Describe cómo las especies

i

$i$ y

j

$j$ interactuar ( entrada wiki en el eqn Lotka-Volterra ).

Según el libro Evolutionary Dynamics de Nowak , estas dos ecuaciones son equivalentes entre sí (el mismo resultado aparece en Evolutionary Games and Population Dynamics de Hofbauer y Sigmund ). Este es un buen resultado porque muestra que los resultados en ecología basados en la ecuación de Lotka-Volterra tienen una interpretación de teoría de juegos y viceversa.

Pregunta

Esto significaría que la ecuación del replicador para dos estrategias (por ejemplo, el juego Halcón-Paloma) es equivalente a una sola especie interactuando consigo misma bajo la ecuación de Lotka-Volterra. ¿Cómo es posible? La ecuación del replicador describiría la frecuencia de dos estrategias en la población, pero la ecuación equivalente de Lotka-Volterra describiría la evolución de una población única e indiferenciada. Mi problema no es tanto con la prueba de la equivalencia entre estas dos ecuaciones (Hofbauer y Sigmund dan una prueba de esta equivalencia en su libro), sino con la interpretación de la equivalencia entre las dos ecuaciones.

Remi.b

¿Puedes definir todos los parámetros en ambas ecuaciones?

falso

Lo siento. Acabo de añadir una descripción de los parámetros.

Remi.b

Sería genial si ya se pudiera probar esta igualdad entre los dos modelos. ¿M. Nowak hizo referencia a su afirmación? ¿Tiene referencias también para el replicador y las ecuaciones de Lotka-Volterra? La ecuación LV me parece un poco rara. No coincide con lo que encontré en wiki . Además, se siente raro hablar de

n - 1

$n-1$ especies, en lugar de reemplazar todas las

n - 1

$n-1$ , por

n

$n$ en la ecuación y hacerla válida para

n

$n$ especies. +1

falso

Nowak se refiere a este resultado en su "Evolutionary Dynamics", pero la prueba aparece en "Evolutionary Games and Population Dynamics" de Hofbauer & Sigmund. Con respecto a la ecuación LV, tengo entendido que Nowak se refiere a la versión generalizada de esta ecuación en lugar de la que se usa para estudiar la competencia entre especies. Podría seguir la prueba pero, como a ti, todavía me parece muy extraño que estemos mapeando un modelo de teoría de juegos con

n

$n$ estrategias a una ecuación LV con

n - 1

$n-1$ especies. Es uno de esos casos en los que entiendes las matemáticas pero no puedes entender lo que está pasando.

Respuestas (1)

La ecuación del replicador vs la ecuación de Lotka-Volterra

Lo siento. Acabo de añadir una descripción de los parámetros.
Sería genial si ya se pudiera probar esta igualdad entre los dos modelos. ¿M. Nowak hizo referencia a su afirmación? ¿Tiene referencias también para el replicador y las ecuaciones de Lotka-Volterra? La ecuación LV me parece un poco rara. No coincide con lo que encontré en wiki . Además, se siente raro hablar de $n-1$ especies, en lugar de reemplazar todas las $n-1$ , por $n$ en la ecuación y hacerla válida para $n$ especies. +1
Nowak se refiere a este resultado en su "Evolutionary Dynamics", pero la prueba aparece en "Evolutionary Games and Population Dynamics" de Hofbauer & Sigmund. Con respecto a la ecuación LV, tengo entendido que Nowak se refiere a la versión generalizada de esta ecuación en lugar de la que se usa para estudiar la competencia entre especies. Podría seguir la prueba pero, como a ti, todavía me parece muy extraño que estemos mapeando un modelo de teoría de juegos con $n$ estrategias a una ecuación LV con $n-1$ especies. Es uno de esos casos en los que entiendes las matemáticas pero no puedes entender lo que está pasando.

Daniel Weissmann · Answer 1

El punto clave es que la primera ecuación describe frecuencias , es decir, $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ , por lo que solo hay $n-1$ grados de libertad. Por ejemplo, si $n=2$ (como en Hawk-Dove), puede describir totalmente el estado del sistema con solo $x_1$ , porque $x_2$ es solo $x_2=1-x_1$ . Esta restricción se aplica ajustando $\phi$ .

Para convertir el modelo de Lotka-Volterra a la primera ecuación, defina $x_i\equiv y_i/\sum_j y_j$ .

La ecuación del replicador vs la ecuación de Lotka-Volterra

falso

Remi.b

falso

Remi.b

falso

Respuestas (1)

Daniel Weissmann

Efectos de la selección sobre el tamaño efectivo de la población

¿La dinámica del replicador da probabilidades mayores que 1?

Supuestos de la regla de Hamilton

Dinámica de replicador discreto vs continuo

¿Los enemigos naturales aumentan la aptitud evolutiva profunda?

Explicación intuitiva para la selección de parentesco y grupo

Recomendaciones de libros para algoritmos utilizados en biología evolutiva

Estructura de los paisajes de fitness en el modelo NK

En Selfish Gene, el capítulo sobre ESS, ¿cómo propagan las palomas sus genes?

¿Cuándo la selección débil produce resultados cualitativamente diferentes a los de la selección fuerte?