La ecuación de Schrödinger como ecuación de Euler-Lagrange

1. Como JamalS señala correctamente en su respuesta :

   • Las acciones cuánticas en QFT pueden tener$\hbar$-dependencia.

   • Si simplemente queremos un principio de acción estacionario para el TDSE , y vemos la acción funcional como una herramienta matemática sin consecuencias físicas más allá de las ecuaciones EL , entonces el$\hbar$-La dependencia no importa.

2. Sin embargo, quizás la incomodidad de OP con la derivación TDSE de Mahan se deba a la siguiente pregunta más profunda:

   Cómo podemos obtener el límite semiclásico correcto$^1$y expansión de bucle$^2$de una segunda integral de trayectoria cuantificada$^3$

   $$Z~=~\int\! {\cal D}\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}}{\cal D}\frac{\psi_2^{\ast}}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right),\tag{1}$$ si la acción de Schroedinger$S$depende de$\hbar$, de modo que varias partes de las acciones$S$escalas / se suprimen de manera heterogénea en el límite semiclásico$\hbar\to 0$?

   Buena pregunta. La respuesta es que hay implícitos ocultos$\hbar$-dependencia, es decir, se deben reescalar las variables

   $$\psi~=~\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}},\qquad m~=~\hbar m_2,\qquad U~=~\hbar U_2,\tag{2}$$ para obtener un clásico ($\hbar$-independiente) acción$^4$ $$\begin{align} S~=~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i\hbar \psi^{\ast}\dot{\psi}-\frac{\hbar^2}{2m} |\nabla\psi|^2 -U|\psi|^2 \right)\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i \psi_2^{\ast}\dot{\psi}_2-\frac{1}{2m_2} |\nabla\psi_2|^2 -U_2|\psi_2|^2 \right) ,\end{align}\tag{3}$$ y para restaurar una expansión de bucle de corrección.

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$^1$Para el límite semiclásico, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

$^2$Para el$\hbar$/loop-expansion, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

$^3$Aquí, el subíndice 2 se refiere a una formulación de segunda cuantificación correctamente normalizada.

$^4$Schwartz, sección 22.1, pág. 395, señala que la constante de acoplamiento$\frac{1}{m}$tiene una dimensión de masa negativa y, por lo tanto, corresponde a un acoplamiento no renormalizable.

En primer lugar, uno puede pensar en esto como un procedimiento matemático más que físico. Al final uno está simplemente construyendo un funcional,

cuya extremización,$\delta S = 0$conduce a la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, los lagrangianos que contienen$\hbar$no son infrecuentes. En la teoría cuántica de campos, se pueden construir acciones efectivas a partir del cálculo de diagramas de Feynman, que pueden tener factores de$\hbar$, fuera de las unidades naturales.