Campo bosónico de Schrödinger [cerrado]

Cuando se cuantiza por segunda vez el campo de Schrödinger

ψ ( r , t ) = ∑ i ϕ i ( r ) b i ( t ) , y ψ † ( r , t ) = ∑ i ϕ i ( r ) ∗ b i † ( t ) ,

tenemos las relaciones de conmutación [ ψ ( r , t ) , ψ † ( r ′ , t ) ] = d ( r − r ′ ) . Ahora quiero mostrar que [ b i , b j † ] = d i , j .

Intenté sustituir la expresión por ψ en el conmutador y obtuve

∑ i ∑ j ϕ i ( r ) ϕ j ( r ′ ) ∗ [ b i ( t ) , b j ( t ) † ] = d ( r − r ′ ) ,
pero no veo muy bien cómo esto podría ayudarme. ¿Alguien aquí tiene una idea de cómo mostrar esto?

Esta es una de esas preguntas a las que me gustaría responder, pero la mejor solución es que luches con esto por un tiempo ...
@AlexNelson, esta suele ser la mejor manera, pero ¿no tienes ninguna pista?
bueno, tal vez piensen en esto: ¿qué esperamos de [ b i ( t ) , b i † ( t ) ] = ? ? ¿Qué pasa si dejas [ b i ( t ) , b j † ( t ) ] = F i j ( t ) , qué propiedades de F i j ( t ) debe sostener (es decir, ¿es simétrico? ¿Hermitiano? ¿Auto-adjunto? ¿Cuál es su diagonal?)? ¿Qué sucede cuando vuelve a enchufar esto y usa estas propiedades?
Bueno [ b i ( t ) , b i † ( t ) ] es autoadjunto. Así sabemos que F i i ( t ) = F i i † ( t ) . Además, sabemos que F i j ( t ) = F j i † ( t ) . No estoy tan seguro, si eso me ayuda.

Respuestas (1)

El ϕ i ( r ) forman una base ortonormal de funciones (integrables al cuadrado) en R , es decir, deberías tener una relación como

∫ d r ϕ i ( r ) ϕ j ∗ ( r ) = d i j .
Esto es lo que necesitas para expandirte ψ ( r , t ) y ψ † ( r , t ) como lo hiciste arriba. Puedes usar esto para escribir el b i ( t ) en términos de ψ ( r , t ) de la siguiente manera:
∫ d r ϕ i ( r ) ∗ ψ ( r , t ) = ∫ d r ∑ j ϕ i ∗ ( r ) ϕ j ( r ) b j ( t ) = ∑ j d i j b j ( t ) = b i ( t ) .
Del mismo modo, obtienes
∫ d r ϕ i ( r ) ψ † ( r , t ) = b i † ( t ) .
Entonces, por lo tanto, tienes
[ b i ( t ) , b j ( t ) ] = ∫ d r d r ′ ϕ i ( r ) ϕ j ∗ ( r ) [ ψ ( r , t ) , ψ † ( r ′ , t ) ] = ∫ d r d r ′ ϕ i ( r ) ϕ j ∗ ( r ) d ( r − r ′ ) = ∫ d r ϕ i ( r ) ϕ j ∗ ( r ) = d i j .

ah, bueno, nadie me dijo que son ortonormales, pero gracias por señalarlo. en ese caso, el ejercicio está bien :-)
te expandes ψ en una base y tras la cuantificación, los coeficientes de expansión se convierten en los operadores de escalera para los diferentes modos correspondientes a la función base. A menudo encuentra la elección de la base de Fourier ϕ k ( t ) = mi i k t lo que hace que el b i los operadores de creación y aniquilación en los diferentes modos de momento.
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