¿Cuáles son los principales obstáculos para resolver el problema de muchos cuerpos en la mecánica cuántica?

Primero permítanme comenzar diciendo que el$N$-El problema del cuerpo en la mecánica clásica no es computacionalmente difícil de aproximar a una solución. Es simplemente que, en general, no existe una solución analítica de forma cerrada, por lo que debemos confiar en los números.

Para la mecánica cuántica, sin embargo, el problema es mucho más difícil. Esto se debe a que en la mecánica cuántica, el espacio de estado requerido para representar el sistema debe poder representar todas las superposiciones posibles de partículas. Si bien el número de estados ortogonales es exponencial en el tamaño del sistema, cada uno tiene una fase y amplitud asociadas, que incluso con la discretización de grano más grueso conducirá a un doble exponencial en el número de posibles estados necesarios para representarlo. Por lo tanto, en los sistemas cuánticos necesitas$O(2^{2^n})$variables para aproximarse razonablemente a cualquier estado posible del sistema, versus solo$O(2^n)$necesarios para representar un sistema clásico análogo. Como podemos representar$2^m$estados con$m$bits, para representar el espacio de estado clásico solo necesitamos$O(n)$pedacitos, versus$O(2^n)$bits necesarios para representar directamente el sistema cuántico. Por eso se cree que es imposible simular una computadora cuántica en tiempo polinomial, pero la física newtoniana se puede simular en tiempo polinomial.

Calcular los estados fundamentales es aún más difícil que simular los sistemas. De hecho, en general, encontrar el estado fundamental de un hamiltoniano clásico es NP-completo , mientras que encontrar el estado fundamental de un hamiltoniano cuántico es QMA-completo . (Por otro lado, los estados básicos son hasta cierto punto menos relevantes porque los sistemas para los cuales es computacionalmente difícil calcular el estado fundamental (al menos en un control de calidad) tampoco se enfrían de manera eficiente).

La respuesta es bastante simple: el problema clásico de N-cuerpos tiene su solución en$6N$Funciones 1D del tiempo, el problema cuántico de N-cuerpos tiene su solución en una función compleja, pero$3N$-dimensional (sin contar el giro y cosas similares). Entonces, no es de extrañar por qué uno puede encontrar soluciones analíticas solo para problemas triviales o al menos hacer$N$enorme y escapar a la mecánica estadística. Y sí, este es solo el problema de la complejidad matemática aquí.
Desde el punto de vista del modelado, la resolución exacta también parece inútil, con solo una complejidad de memoria de$\mathcal{O}(K^{3N})$.

Para el resto de la respuesta, me limitaré a la química cuántica/ciencia de materiales, ya que esta es la región más explotada; esto significa que ahora estamos hablando de átomos. En primer lugar, los átomos tienen núcleos pequeños y muy pesados, por lo que pueden tratarse como fuentes casi estacionarias de potencial electrostático; esto reduce el problema a los electrones únicamente (Born-Oppenheimer aprox.). Ahora, hay dos rutas principales a seguir: Hartree-Fock o Teoría del Funcional de la Densidad.
En HF, uno representa aproximadamente la función de tejido de muchos cuerpos como una combinación de algunas funciones base estándar; luego, uno puede optimizar sus contribuciones para obtener una energía mínima, pero usando el hamiltoniano extendido para ajustar los efectos de dicha aproximación. En DFT, uno alentado por los teoremas de Hohenberg-Kohn reduce la función de tejido de muchos cuerpos al campo de densidad de probabilidad de electrones (tridimensional) y, en consecuencia, los términos de la ecuación de Shroedinger en funcionales de densidad (y allí se aplican aproximaciones). A continuación, se puede resolver como este campo 3D o en la forma de Kohn-Sham, que es más o menos Hartree-Fock para DFT (uno representa la densidad con funciones base). Las personas a veces están haciendo algo analítico aquí, pero esas son en su mayoría teorías hechas para respaldar los enfoques computacionales.

Y, finalmente, su última pregunta: esos métodos aproximados (pero aún ab initio , no hay parámetros experimentales allí) predicen cosas como reacciones químicas, varios espectros y otras cantidades medibles; Sin embargo, la precisión es problemática. La biología está mayormente fuera de nuestro alcance debido a una escala de tiempo; al menos hay métodos híbridos capaces de mezclar, por ejemplo, la simulación clásica del movimiento de proteínas con la simulación cuántica del sitio de unión cuando se aprieta lo suficiente como para que pueda tener lugar una reacción enzimática cuántica.

En un nivel más abstracto, el problema es la linealidad frente a la no linealidad. Es sencillo resolver una serie de ecuaciones lineales y siempre arrojan una respuesta analítica. Sin embargo, las ecuaciones no lineales producen un comportamiento caótico, que no se puede generalizar en la mayoría de los casos.

Como ejemplo, el problema newtoniano de 3 cuerpos involucra 2C3 = 3 ecuaciones no lineales; la no linealidad proviene de la relación r ² . Y 3 relaciones no lineales son el requisito mínimo para un sistema caótico.

De manera similar, la mecánica cuántica involucra una gran cantidad de ecuaciones no lineales: dado un conjunto de 3 electrones, cada uno repelerá a los demás a través de una relación no lineal, y con una complejidad aún mayor que el problema newtoniano donde todas las cosas son conocidas y determinables.

Entonces, la respuesta simple es que el problema es matemático que no se puede resolver para el caso general, que resulta de la física, y que el caso cuántico es, de hecho, peor que el clásico.

Además de lo que dijo mbq , podría ser interesante saber que las cosas se ponen realmente divertidas en la mecánica cuántica relativista, es decir, usando la ecuación de Klein-Gordon y Dirac (pero sin la "segunda" cuantización de la teoría cuántica de campos ). Allí, hay una función de onda por tipo de partícula , así que no importa cuántas partículas de un tipo consideres, lo único que cambia es el campo mismo. Solo obtienes más grados de libertad al agregar otro tipo de partículas. Por supuesto, dado que los fermiones requieren espinores , puede terminar con otros problemas de cálculo entonces...

La ecuación de muchos cuerpos es inmensamente difícil de estudiar, tanto de forma clásica como mecánica cuántica. El difunto John Pople, de la Universidad Northwestern, ganó un Premio Nobel en 1998 por sus modelos numéricos de funciones de onda de los átomos, desarrollando una base teórica para sus propiedades químicas. Aquí hay un enlace:

http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/