Ejemplos de función de onda exacta del estado fundamental de muchos cuerpos

Question

Ejemplos de función de onda exacta del estado fundamental de muchos cuerpos

Max Radin

¿Existe algún sistema de muchos cuerpos no trivial para el que se conozca la solución exacta de la ecuación de Schrödinger? (Por no trivial, me refiero a un sistema con interacciones partícula-partícula). Quizás algo como positronio, o dos electrones en una caja.

Ron Maimón

¿Estás buscando física o matemáticas? Es posible hacer modelos de fuerza no física de largo alcance en los que la función de onda asintótica del estado fundamental se describa exactamente mediante un campo autoconsistente. Para la física, solo puedo señalar las soluciones de Bethe-Ansatz en 1d, donde puede hacer la ecuación no lineal de Schrödinger y el antiferromagneto de Heisenberg y sistemas relacionados. El sector de número de partículas fijo en el NLSE es SE no trivial y es exactamente solucionable. Fuera de 1d, no sé nada.

Motl de Luboš

Correcto, de manera similar, existe, por ejemplo, la función de onda de Laughlin, que es muy nítida y precisa, excepto que, una vez más, no sabemos exactamente la ecuación que resuelve, consulte en.wikipedia.org/wiki/Laughlin_wavefunction . También los sólidos, con ondas de Bloch para partículas, etc. hacen que las cosas sean "algo más solucionables", pero una vez más, es un límite donde las interacciones efectivamente se vuelven cero en alguna descripción alternativa. El mismo hecho de que el sistema pueda resolverse significa que podemos interpretarlo como un sistema de partículas que no interactúan en una base adecuada...

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Ejemplos de función de onda exacta del estado fundamental de muchos cuerpos

¿Estás buscando física o matemáticas? Es posible hacer modelos de fuerza no física de largo alcance en los que la función de onda asintótica del estado fundamental se describa exactamente mediante un campo autoconsistente. Para la física, solo puedo señalar las soluciones de Bethe-Ansatz en 1d, donde puede hacer la ecuación no lineal de Schrödinger y el antiferromagneto de Heisenberg y sistemas relacionados. El sector de número de partículas fijo en el NLSE es SE no trivial y es exactamente solucionable. Fuera de 1d, no sé nada.
Correcto, de manera similar, existe, por ejemplo, la función de onda de Laughlin, que es muy nítida y precisa, excepto que, una vez más, no sabemos exactamente la ecuación que resuelve, consulte en.wikipedia.org/wiki/Laughlin_wavefunction . También los sólidos, con ondas de Bloch para partículas, etc. hacen que las cosas sean "algo más solucionables", pero una vez más, es un límite donde las interacciones efectivamente se vuelven cero en alguna descripción alternativa. El mismo hecho de que el sistema pueda resolverse significa que podemos interpretarlo como un sistema de partículas que no interactúan en una base adecuada...

wsc · Answer 1

Uno de mis estados fundamentales exactos de muchos cuerpos, no triviales, es la solución de un aislador magnético de espín-1 muy específico en 1D, con un hamiltoniano

H_{A k L T} = \sum_{⟨ i j ⟩} {\vec{S}}_{i} \cdot {\vec{S}}_{j} + \frac{1}{3} ({\vec{S}}_{i} \cdot {\vec{S}}_{j})^{2}

$H_{AKLT}=\sum_{\langle ij\rangle}\vec{S}_i \cdot \vec{S}_j + \frac{1}{3}(\vec{S}_i \cdot \vec{S}_j)^2$

Resulta que puede construir el estado fundamental observando los operadores de espín 1 como una proyección en el subespacio triplete de dos operadores de espín 1/2, donde los objetos de espín 1/2 forman enlaces singlete vecinos más cercanos en un manera muy especial. (Se pueden encontrar más detalles en http://en.wikipedia.org/wiki/AKLT_Model )

Este estado fundamental exacto informa nuestra comprensión del modelo de Heisenberg de spin-1 (es decir, sin la interacción bicuadrática), y los "estados de borde" de spin-1/2 "fraccionados" que este estado predice para un imán con condiciones de contorno abiertas han sido observado en experimentos (ver nuevamente el artículo wiki y sus referencias)

jjcale · Answer 2

Para un hamiltoniano, para el cual la función de onda de Laughlins es el estado fundamental exacto, consulte FDM Haldane, Fractional Quantization of the Hall Effect: A Hierarchy of Incompressible Quantum Fluid States, Phys. Rev. Lett. 51, 605–608 (1983), http://prl.aps.org/abstract/PRL/v51/i7/p605_1 .

Al igual que el hamiltoniano en la respuesta de wsc, este hamiltoniano es una suma de proyecciones, que representan las interacciones. Y en ambos casos, el estado fundamental es el estado, que es aniquilado por todas estas proyecciones.

David Holdaway · Answer 3

El estado fundamental exacto para N bosones sin estructura que interactúan con interacciones de contacto $V(x_1-x_2) = g \delta(x_1-x_2)$ es conocida. En el espacio libre (también con condiciones de frontera periódicas de ancho infinito) para $g<0$ esto es

ψ_{gramo r o tu norte d} \propto Exp (\frac{metro gramo}{2 ℏ^{2}} \sum_{1 \leq j < k \leq norte} | X_{j} - X_{k} |)

$\psi_{\rm ground} \propto \exp\left(\frac{m g}{2 \hbar^2} \sum_{1 \le j < k \le N} |x_j-x_k| \right)$

Que es un estado que está localizado con correlaciones de pares pero tiene un centro de masa que está libre (descrito por una onda plana).

Ver Bethe Ansatz para más detalles.

Max Radin · Answer 4

El ejemplo más elegante que he encontrado es el átomo de Hooke, también llamado armonio. Consiste en dos electrones que quedan atrapados en un pozo armónico:

H = - \nabla_{1}^{2} - \nabla_{2}^{2} + \frac{1}{| r_{1} - r_{2} |} + \frac{1}{2} k (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})

$H=-\nabla^2_1-\nabla^2_2+\frac{1}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|}+\frac{1}{2}k\left(\mathbf{r}_1^2+\mathbf{r}_2^2\right)$

Para ciertos valores de la constante elástica k , este hamiltoniano se puede resolver exactamente . Por ejemplo, cuando k = ¼, el estado fundamental es:

Ψ (r_{1}, r_{2}) = \frac{1}{2 \sqrt{8 π^{5 / 2} + 5 π^{3}}} (1 + \frac{1}{2} | r_{1} - r_{2} |) Exp (- \frac{1}{4} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}))

$\Psi\left(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\right)=\frac{1}{2\sqrt{8\pi^{5/2}+5\pi^3}}\left(1+\frac{1}{2}\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|\right)\textrm{exp}\left(-\frac{1}{4}\left(r_1^2+r_2^2\right)\right)$

Fuente: Wikipedia

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wsc

jjcale

David Holdaway

Max Radin

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