De manera rigurosa, ¿cómo se define el hamiltoniano de QFT como
Por ahora estoy ignorando el hecho de que en sí mismo puede estar mal definido ya que implica el producto de distribuciones. Supongamos que es una distribución con valores de operador correctamente definida.
Primero, ¿cómo se toma la integral de una distribución como esta? Mientras que uno podría tomar algo parecido a una integral como si tenía soporte compacto y con ese soporte, no hay garantía de que esto sea posible en general. ¿Es posible, por ejemplo, definir la distribución con valores de operadores como el límite de una secuencia de funciones con valores de operadores y tomar algo similar a
suponiendo que el límite puede conmutar con la integral. Además, ¿cuál sería la integral utilizada aquí, es una de esas medidas con valor de proyección?
Alternativamente, ¿puedo definirlo como
para una función de prueba igual a sobre un soporte compacto de tamaño cada vez mayor?
Aquí está el panorama general:
En muchos casos (teorías de calibre quiral no abeliano, como el modelo estándar), aún no sabemos cómo definir el hamiltoniano rigurosamente.
En la mayoría de los casos en los que sabemos cómo definir rigurosamente el hamiltoniano, la definición implica reemplazar el espacio continuo con una red discreta (y finita).
Sólo en casos excepcionales (como los modelos con Lagrangianos cuadráticos) sabemos definir las cosas con rigor sin recurrir a una celosía espacial. Debido a que esto solo funciona en casos excepcionales (generalmente aburridos), no lo abordaré aquí.
Para ser claros, cuando digo "definir el hamiltoniano" aquí, realmente quiero decir "definir todo el QFT, incluida una expresión bien definida para el hamiltoniano en términos de los operadores de campo".
En una formulación hamiltoniana basada en celosía de QFT, el espacio tiene un número finito de puntos, por lo que desaparecen las preocupaciones expresadas en la pregunta. El tiempo permanece continuo. Una forma de abordar la formulación es usar el proceso de cuantización canónica habitual, comenzando con un Lagrangiano clásico en el que el espacio ya ha sido discretizado (por lo que los gradientes espaciales se reemplazan por diferencias finitas y las integrales se reemplazan por sumas). El desorden de la formulación depende de los tipos de campos involucrados:
La formulación es directa cuando solo se involucran campos escalares.
Cuando los campos de calibre están involucrados, se vuelve relativamente sencillo en el calibre temporal (en el que el campo de calibre no tiene componente) si usamos elementos del grupo de Lie (en lugar del álgebra de Lie) para representar el campo de calibre. Un inconveniente de esta formulación es que el hamiltoniano resultante nunca es solo cuadrático en el campo de calibre, ni siquiera para un calibre el campo como el campo EM. Este es un obstáculo para los cálculos de forma cerrada. Por cierto, este "compacto La versión de la electrodinámica incluye automáticamente monopolos magnéticos (si el espacio es tridimensional), que se desacoplan en el límite continuo.
Cuando los campos de espinor de Dirac están involucrados, la formulación se vuelve desalentadoramente desordenada, pero es factible.
Cuando se trata de fermiones quirales (Weyl), en el caso genérico en el que sus interacciones con los campos de calibre no son invariantes bajo la reflexión espacial, ni siquiera sabemos cómo hacerlo todavía.
También existe una versión rigurosa de la formulación de la "integral de trayectoria" en la que el espacio-tiempo se reemplaza por una red discreta. Se aplican comentarios similares en este caso, y la formulación hamiltoniana de celosía se puede recuperar considerando el límite de tiempo continuo. Este es un enfoque alternativo para resolver los detalles de la formulación hamiltoniana de celosía, y el resultado se puede comparar con el enfoque de cuantificación canónica mencionado anteriormente. Deberían estar de acuerdo entre sí, al menos en diferencias de módulo que deberían volverse insignificantes en el límite continuo.
Los cálculos manuales rara vez se realizan utilizando una formulación explícita basada en celosía, porque rápidamente se vuelve prohibitivamente desordenada. Sin embargo, comprender cómo se puede definir rigurosamente un modelo en una red sigue siendo valioso, porque cada vez que nos encontramos con problemas con las manipulaciones ingenuas del espacio continuo (como las integrales divergentes de Feynman, etc.), podemos volver sobre nuestros pasos a partir de una red bien definida. formulación para comprender exactamente qué salió mal y cómo solucionarlo, al menos conceptualmente.