La derivada de la matriz de rotación produce un vector de velocidad angular

Tomar cualquier vector de base$\hat{u}$que está montado en un marco de coordenadas giratorio y encuentre hasta los componentes medidos por el marco de inercia que tiene

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{u} = \vec{\omega} \times \hat{u} \tag{1}$$

Ahora reconozca que la matriz de rotación$\mathbf{R}$solo tiene los tres vectores base del marco del cuerpo en sus columnas

$$\mathbf{R} = \left[ \begin{array}{c|c|c} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \end{array} \right] \tag{2}$$

y la relacion

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \mathbf{R} = \vec{\omega} \times \mathbf{R} \tag{3}$$

es solo un atajo para

$$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{i} & = \vec{\omega} \times \hat{i} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{j} & = \vec{\omega} \times \hat{j} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{k} & = \vec{\omega} \times \hat{k} \\ \end{aligned}$$

Entonces, su pregunta es realmente ¿cómo prueba (1)?

Mi método favorito es afirmar que, bajo rotaciones, la longitud del vector base debe seguir siendo uno.$\| \hat{u} \| = 1$, o en forma derivada

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \sqrt{ \hat{u} \cdot \hat{u} } = 0$$ que rápidamente se simplifica a $$\hat{u} \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{u} = 0$$

que se interpreta como que la derivada debe ser perpendicular a la dirección (bastante intuitivo) y que una (o la única forma) de garantizar esto es usar un producto cruzado para definir la derivada, ya que se garantiza que el producto cruzado es perpendicular a ambos argumentos .

$$\hat{u} \cdot ( \vec{\omega} \times \hat{u}) = 0$$

Lo anterior conduce a

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{r} = \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ para$\vec{r}$cabalgando sobre el cuerpo y$\vec{\omega}$es el vector de velocidad angular.

La matriz de transformación$~\mathbf R~$transformó los componentes de un vector de sistema corporal (Índice B) a sistema inercial (Índice I)

$$(\mathbf u)_I=\mathbf R\,(\mathbf u)_B$$

tomar la derivada del tiempo se obtienen los componentes de velocidad$~\mathbf v~$en sistema inercial

$$(\mathbf v)_I=\mathbf{\dot{R}}\,(\mathbf u)_B$$

con

$$\mathbf{\dot{R}}=\,\mathbf R\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right]$$

$\Rightarrow$

$$(\mathbf v)_I=\mathbf R\,\left(\mathbf\omega\times\mathbf u\right)_B$$

o

$$\underbrace{\mathbf R^T\,(\mathbf v)_I}_{(\mathbf v)_B}=\left(\mathbf\omega\times\mathbf u\right)_B$$

así obtienes

$$\mathbf v=\mathbf\omega\times\mathbf u$$

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con :

$$\begin{align*} &\mathbf{\dot{R}}=\mathbf{R}\,\mathbf{\tilde{\omega}}\\ &\Rightarrow\\ &\mathbf{\tilde{\omega}}=\mathbf{R}^T\,\mathbf{\dot{R}}\quad \text{and}\quad \mathbf{\tilde{\omega}}+\mathbf{\tilde{\omega}}^T=\mathbf{0}\\ &\Rightarrow\\ &\mathbf{R}^T\,\mathbf{\dot{R}}+\,\mathbf{\dot{R}}^T\,\mathbf{R}=\mathbf{0}\\ &\text{or}\\ &\mathbf{R}^T\,\mathbf{R}=\mathbf{I} \end{align*}$$