¿La velocidad angular es paralela al eje de rotación?

La esencia de la pregunta es la definición de la velocidad angular y su relación con el eje de rotación.

En primer lugar, para describir la rotación de una sola partícula, se requiere un eje de rotación $\hat{\mathbf{n}}$, y una tasa de cambio de 'orientación' (o 'posición angular')$\frac{d \theta( \hat{\mathbf{n}}) }{d t}$alrededor de ese eje. Sin estas 2 piezas de información, la "rotación" no tiene sentido. Teniendo el eje de rotación y una tasa de cambio de orientación, se puede definir la velocidad angular$\vec{\omega}$como

Para aclarar esto aún más, considere la siguiente figura que representa la rotación en el espacio tridimensional y se ajusta al ejemplo dado en la pregunta,

donde las coordenadas esférico-polares $\theta$y$\phi$se utilizan como los ángulos acimutal y polar, respectivamente, y el cenit ($z$-eje) se toma como paralelo a$\hat{\mathbf{n}}$.

En el límite del cambio infinitesimal en el tiempo,$\Delta t \rightarrow 0$,

Se observa claramente que tanto la magnitud como la dirección de$\frac{d \mathbf{r}}{d t}$(que es perpendicular al plano definido por la posición de la partícula$\mathbf{r}$y el eje de rotacion$\hat{\mathbf{n}}$) están dados correctamente por el producto cruz

Desde$\frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \mathbf{v}$y$\hat{\mathbf{n}} \frac{d \theta}{d t} \equiv \vec{\omega}$, Se obtiene

Por lo tanto, el eje instantáneo de rotación$\hat{\mathbf{n}}(t)$y la velocidad angular instantánea$\vec{\omega}(t)$son de hecho paralelos.

Finalmente, como se muestra Gary Godfreyen un comentario, se puede obtener la relación correcta para la velocidad angular$\boldsymbol{\omega}$en términos de la velocidad$\mathbf{v}$y posición$\mathbf{r}$como

^{Esta respuesta se basa en Kleppner, D. y R. Kolenkow. “Introducción a la mecánica”, (2ª edición, 2014), págs. 294–295. La figura está tomada de la misma fuente.}

Sí, la fórmula es incorrecta.

Yo creo que solo vale si$r$en realidad se encuentra en el plano de rotación, tal que$r$y$\omega$son perpendiculares.

La definición de$\omega$que me he encontrado es

Esto asegura que$v$es perpendicular a ambos$r$y$\omega$. Lo primero tiene que suceder ya que bajo rotaciones$r$no cambia su longitud. Eso$v$es perpendicular a$\omega$ocurre naturalmente desde$\omega$define el plano de rotación que$v$se encuentra en

Tenga en cuenta aquí que el producto vectorial no es invertible, es decir, todos los vectores son perpendiculares a$\omega$tendrá$v=0$(que es natural). Esto significa que para averiguar$\omega$necesita tener acceso a (al menos) dos pares de$(v,r)$-vectores.

Tal definición vectorial para$\omega$fue creado para eliminar la siguiente confusión. Supongamos que estoy observando un movimiento circular en el plano XY, mientras estoy parado frente al plano. Según yo, el cuerpo tendrá un sentido de rotación en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero para una persona parada detrás del avión, su respuesta siempre será la opuesta a mi respuesta. Por ejemplo, si afirmo que el movimiento es en el sentido de las agujas del reloj, su respuesta sería que, según él, el movimiento es en el sentido contrario a las agujas del reloj. Pero si ambos usamos la regla del tornillo, usaremos el mismo vector unitario para representar el sentido del movimiento. Entonces, aunque a primera vista asignar una notación vectorial a la velocidad angular parece bastante contrario a la intuición, sigue siendo bastante razonable hacerlo. Lo que también es interesante notar es que el desplazamiento angular no es un vector, sin embargo, la velocidad angular es. La razón es que la suma vectorial es conmutativa, pero en la aplicación 3-D el desplazamiento angular no es conmutativo. Entonces, ¿por qué afirmamos que$\omega$, que es básicamente la tasa de cambio del desplazamiento angular (($\omega = \frac{d\theta}{dt}$), es un vector. Lo hacemos porque un pequeño desplazamiento angular ($d\theta$) no tiene sentido de la dirección, y que se puede decir que la suma de desplazamientos angulares tan pequeños es conmutativa.