¿Cómo gira un cuerpo rígido formado por dos partículas?

Question

¿Cómo gira un cuerpo rígido formado por dos partículas?

katana_0

Supongamos que tiene un eje $O$ , y dos masas $m_1$ y $m_2$ , que se unen a $O$ por una vara de $r_1$ y $r_2$ , y $m_1, m_2$ están unidos por $r$ (las varillas son sin masa y rígidas). Ahora, $\angle m_1Om_2 = \phi$ , y empujas $m_1$ por fuerza tangencial $F_1^T$ . Se muestran en la imagen.

Ahora, como toda la configuración es rígida y se aplica una fuerza, ambas masas rotarán con la misma velocidad angular (posiblemente variando con el tiempo). Según tengo entendido, las únicas fuerzas que actúan sobre $m_2$ es la tensión $\vec{T_2}$ en la barra $Om_2$ y la tensión $\vec{T}$ en $m_1m_2$ varilla, (que se dirigen hacia $O$ y $m_1$ respectivamente) que se combina para $\vec{F_{2NET}}$ . he roto $F_{2NET}$ en componente radial $F_2^r$ (que es inútil), y componente tangencial $\vec{F_{2N}^{T}}$ . Ahora, $\vec{F_{2N}^{T}}$ será sólo la fuerza que contribuya a $m_2$ la rotación de .

Ahora lo que no entiendo es que cuando $\phi \rightarrow 180$ , para obtener una cantidad considerable de componente tangencial $\vec{F_{2N}^{T}}$ , al menos uno de $T, T_2$ tiene que ser muy, muy grande (debería ser infinito cuando $\phi = 180$ ). ¿Pero no es esto físicamente imposible? Lo que es más confuso para mí es que puedo hacer este modelo improvisado usando trozos de arcilla y lápiz y gira perfectamente incluso cuando $\phi \approx 180$ .

Steven

Requerir una fuerza infinita suele ser lo mismo que decir "es imposible", sí.

katana_0

@Steeven Puedo hacer un dispositivo improvisado simulando con lápices como varillas sin masa y grumos de arcilla como masas en un minuto, pero claramente gira incluso cuando

ϕ \to 180

$\phi \rightarrow 180$ Entonces, si "es imposible", ¿cómo es posible tener tal rotación en la vida real XD?

Steven

No estoy seguro de entender el ejemplo que describes. Si los dos lápices no estuvieran conectados por una tercera varilla, ¿no rotarían ambos como siempre? Giraría solo uno? Si ese es el caso, entonces solo un lápiz está conectado al eje de torsión. Con 180 grados entre ellos y una tercera varilla que los conecta, el otro lápiz solo se moverá cuando el primero se mueva un poco más de exactamente 180 grados. Solo entonces cualquier fuerza tangencial se propagará al otro lápiz. Solo entonces se moverá. Esto es lo que significa fuerzas infinitas: es imposible exactamente a 180 grados

katana_0

@Steeven OK Supongamos que tienes una barra sin masa

ℓ

$\ell$ unir dos masas

m_{1}, m_{2}

$m_1, m_2$ . Además, el medio de la varilla

O

$O$ pasa por un eje, a través del cual la varilla puede girar libremente. ahora no entiendo si empujas

m_{1}

$m_1$ en una línea perpendicular a la barra, entonces ¿por qué

m_{2}

$m_2$ mover ? La única fuerza que actúa sobre

m_{2}

$m_2$ es la tensión, pero la tensión está dirigida hacia

O

$O$ (radialmente en

ℓ

$\ell$ ), pero no perpendicular (es decir, no tiene componente tangencial) a él.

Juan Alexiou

Realice la suma de fuerzas y momentos en el centro de masa. Luego puede ver dónde girará el cuerpo.

Juan Alexiou

Las varillas pueden impartir pares así como fuerzas sobre las masas.

Respuestas (6)

¿Cómo gira un cuerpo rígido formado por dos partículas?

Requerir una fuerza infinita suele ser lo mismo que decir "es imposible", sí.
@Steeven Puedo hacer un dispositivo improvisado simulando con lápices como varillas sin masa y grumos de arcilla como masas en un minuto, pero claramente gira incluso cuando $\phi \rightarrow 180$ Entonces, si "es imposible", ¿cómo es posible tener tal rotación en la vida real XD?
No estoy seguro de entender el ejemplo que describes. Si los dos lápices no estuvieran conectados por una tercera varilla, ¿no rotarían ambos como siempre? Giraría solo uno? Si ese es el caso, entonces solo un lápiz está conectado al eje de torsión. Con 180 grados entre ellos y una tercera varilla que los conecta, el otro lápiz solo se moverá cuando el primero se mueva un poco más de exactamente 180 grados. Solo entonces cualquier fuerza tangencial se propagará al otro lápiz. Solo entonces se moverá. Esto es lo que significa fuerzas infinitas: es imposible exactamente a 180 grados
@Steeven OK Supongamos que tienes una barra sin masa $\ell$ unir dos masas $m_1, m_2$ . Además, el medio de la varilla $O$ pasa por un eje, a través del cual la varilla puede girar libremente. ahora no entiendo si empujas $m_1$ en una línea perpendicular a la barra, entonces ¿por qué $m_2$ mover ? La única fuerza que actúa sobre $m_2$ es la tensión, pero la tensión está dirigida hacia $O$ (radialmente en $\ell$ ), pero no perpendicular (es decir, no tiene componente tangencial) a él.
Realice la suma de fuerzas y momentos en el centro de masa. Luego puede ver dónde girará el cuerpo.
Las varillas pueden impartir pares así como fuerzas sobre las masas.

Evolvente · Answer 1

Tenga en cuenta que la tensión puede no ser la única fuerza que se transmite a través de los enlaces. Si los vínculos entre las masas son en realidad inextensibles y no flexibles, lo que debería ser si el sistema anterior es un cuerpo rígido, las fuerzas cortantes (fuerzas internas orientadas perpendicularmente a la dirección del vínculo) y los momentos flectores (momentos internos cuyos ejes son perpendiculares al enlace) pueden estar presentes. La teoría de vigas elásticas (como la teoría de vigas de Euler-Bernoulli) podría resultar reveladora sobre cómo se desarrollan estas fuerzas cortantes y momentos de flexión en eslabones y barras de la vida real.

Esta es la respuesta correcta, pero creo que podría ser más clara.

Endy · Answer 2

Prueba con un caso más sencillo. Adjunte un trozo de arcilla a un lápiz. Ahora agita el lápiz alrededor, a la izquierda, a la derecha y alrededor. Si la fuerza sobre el trozo de arcilla solo se dirige a lo largo del lápiz como afirmas, entonces el trozo de arcilla solo acelerará en la dirección del lápiz. Pero claramente puedes mover el bulto de arcilla en la dirección que quieras. La respuesta es que la fuerza del lápiz no está necesariamente dirigida a lo largo de la línea del lápiz.

jerbo sammy · Answer 3

jerbo sammy

Si la línea de acción de la fuerza aplicada no pasa por el pivote, el sistema girará. No importa cuál sea el ángulo entre las varillas.

Puede pensar en el marco como un cuerpo rígido. No es necesario tener en cuenta las fuerzas internas. La fuerza aplicada proporciona un par de torsión sobre el pivote. Si hay un par, el sistema girará.

Si la fuerza aplicada se dirige a través del punto de pivote O, entonces no hay torsión y el sistema no girará.

katana_0

Gracias, pero si la tensión es la única fuerza, entonces en mi libro (ver esta captura de pantalla), ¿no está mal dibujada la imagen (c)? ver cuando

ϕ \to 180

$\phi \rightarrow 180$ el

F_{2 T}

$F_{2T}$ se dibuja muy grande, también según el diagrama de cuerpo libre del libro. Realmente no veo por qué el

m_{2}

$m_2$ se movería cuando

ϕ = 180

$\phi = 180$ incluso cuando empujo en una dirección perpendicular a la barra en

m_{1}

$m_1$ (pero es obvio por la intuición de la vida real que debe moverse).

katana_0

Bien, y si no es la tensión la única fuerza, ¿cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza lateral que también está funcionando? Entonces, ¿cómo el par total

τ

$\tau$ es igual

τ_{1 T} + τ_{2 T} = I α

$\tau_{1T} + \tau_{2T} = I\alpha$ ? Puedo empujar en el medio de la barra que une las dos masas, y aún debería girar, pero según la fórmula, no debería girar, ¿verdad? (Dónde

I

$I$ es el momento habitual de inercia?)

katana_0

Por cierto, suponga que tiene una barra por el medio de la cual pasa un eje, con alguna distribución de masa. Ahora, si empujas en algún punto de la barra perpendicular a ella, cada partícula recibe una fuerza perpendicular a la barra, ¿verdad? ¿Qué sucede a nivel molecular para desarrollar una imagen mental aproximada de cómo funciona esta fuerza de propagación?

jerbo sammy

En el diagrama (c) de su captura de pantalla, parece que hay 2 fuerzas aplicadas que crean pares en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que su fórmula

τ_{1} + τ_{2} = I α

$\tau_1+\tau_2=I\alpha$ se aplica. Si no hay fuerza aplicada entonces

α = 0

$\alpha=0$ lo que significa que no hay aceleración angular pero aún puede haber velocidad angular . Todavía se requiere tensión en las varillas para mantener las masas moviéndose en un círculo (fuerza centrípeta)... Las fuerzas y los pares se transmiten a través de las varillas a nivel molecular, es decir, cada molécula empuja o tira de sus vecinas de tal manera que mantener la varilla rígida.

Anurag Baundwal · Answer 4

La masa 2 se moverá incluso cuando phi = 180 grados si empuja la masa 1.

Cualitativamente, la respuesta corta es restricciones . Cuando mueves la masa 1, la varilla que conecta la masa 1 y la masa 2 tiene que moverse junto con ella (la varilla no puede romperse, doblarse o estirarse), lo que a su vez hace que la masa 2 se mueva. (¿Esto implica que la tensión no siempre actúa a lo largo de la varilla? De lo contrario, ¿cómo crearía un par en la masa 2? Alguien responda esto en los comentarios).

Cuantitativamente, no creo que pueda encontrar el par en la masa 2 considerando las fuerzas en ella, que es lo que preguntas (¿verdad?). Lo que puedes hacer, sin embargo, es calcularlo indirectamente:

Paso 1: Encuentre la velocidad angular de la masa 2 con respecto a O: debe ser igual a la de la masa 1. Esto implica que la aceleración angular de la masa 2 es aproximadamente igual a la de la masa 1. (No estoy completamente seguro acerca de la segunda línea de este paso.)

Paso 2: Use torque = I*alpha para encontrar el torque en la masa 2.

PD: Lo siento si el formato no está a la altura. Encuentro las herramientas SE algo confusas.

cms · Answer 5

Como mencionó @SprocketsAreNotGears, su suposición de fuerzas restringidas a las líneas OM2 y M1M2 es incorrecta:

las varillas no son cuerdas

Una barra puede ejercer una fuerza perpendicular a su longitud. Una cuerda idealizada no puede. Una varilla es un cuerpo rígido. Una cuerda no lo es.

Como el contraejemplo más simple posible, imagina una pelota unida a un palo y sostenida paralela al suelo. La barra ejerce una fuerza hacia arriba sobre la bola que contrarresta la gravedad, incluso si la longitud de la barra es perpendicular hacia arriba.

Una vez que elimina la restricción en T2 y T1, los infinitos en $\phi = 180$ irse.

Juan Alexiou · Answer 6

Lo que te falta en los diagramas de cuerpo libre son los momentos que las barras pueden aplicar a las masas. Ha sustituido los momentos con un miembro virtual que conecta las dos masas y una tensión entre ellas. En término, cuando $\varphi=\pi$ los tres puntos son colineales, lo que hace imposible la producción de momentos.

Estás viendo una situación como esta:

donde en el punto A , por ejemplo, las fuerzas $A_x$ , $A_y$ y momento $\tau_A$ se aplica a la barra sin masa, y se aplica un conjunto igual y opuesto a la masa (1). De manera similar, en el punto B , las fuerzas $B_x$ , $B_y$ y momento $\tau_B$ aplicar a las varillas sin masa.

Dado que las varillas no tienen masa, debe equilibrar las fuerzas y los momentos.

(\begin{matrix} A_{X} \\ A_{y} \end{matrix}) + (\begin{matrix} B_{X} \\ - B_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) - τ_{A} - C A_{X} + τ_{B} + C B_{X} = 0

$\pmatrix{A_x \\ A_y } + \pmatrix{B_x \\ -B_y} = \pmatrix{0\\0} \\ -\tau_A -c \,A_x + \tau_B + c\,B_x = 0$

También necesitas formar ecuaciones de movimiento para las dos masas (un total de 6) para un total de 9 ecuaciones. Las incógnitas son las 6 fuerzas/momentos internos en A y B y los 3 grados de libertad, muy probablemente el movimiento del centro de masa (punto C arriba).

9 ecuaciones y 9 incógnitas hacen un sistema lineal solucionable.

Si las barras no pueden aplicar ningún momento porque están articuladas, entonces no tienes un cuerpo rígido . En este caso, las masas puntuales no tienen un grado de libertad de rotación y su problema solo se puede resolver si el miembro AOB se trata como un miembro de dos fuerzas.

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