¿Cuáles son las expresiones de las energías cinéticas de rotación y traslación de un sistema de partículas puntuales?

Question

¿Cuáles son las expresiones de las energías cinéticas de rotación y traslación de un sistema de partículas puntuales?

Física
velocidad angular
mecanica clasica
mecanica-newtoniana
cinemática-rotacional

Rajesh D.

Considere un sistema de partículas puntuales, donde la masa de la partícula $i$ es $\mu_i$ y su vector de posición es $r_i$ . ¿Cuáles son las expresiones para la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación del sistema de partículas?

La expresión de la energía cinética total para el sistema se da como:

\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} ({\dot{r}}_{i} \cdot {\dot{r}}_{i}) .

$\frac{1}{2}\sum_i \mu_i(\dot{r}_i\cdot\dot{r}_i).$ La suma de las energías cinéticas de rotación y traslación debe ser igual a la energía cinética total del sistema.

Supongo que la energía cinética de traslación del sistema se da como:

\frac{1}{2} (\sum_{i} m_{i}) ({\dot{r}}_{C metro} \cdot {\dot{r}}_{C metro}),

$\frac{1}{2}(\sum_i \mu_i)(\dot{r}_{cm}\cdot\dot{r}_{cm}),$ dónde

r_{c m}

$r_{cm}$ es el vector de posición del centro de masa del sistema.

Sin embargo, no puedo obtener la expresión de la energía cinética de rotación del sistema y agradezco alguna ayuda.

Respuestas (2)

¿Cuáles son las expresiones de las energías cinéticas de rotación y traslación de un sistema de partículas puntuales?

Maksim Zholudev · Answer 1

La definición de energía cinética rotacional es

{mi}_{putrefacción}_{(i)} = \frac{1}{2} j_{i} ω_{i}^{2} = \frac{L_{i}^{2}}{2 j_{i}}

$E_\text{rot}{}_{(i)} = \frac{1}{2} J_i \omega_i^2 = \frac{\;\; L_i^2}{2J_i}$ dónde

J_{i}

$J_i$ es momento de inercia,

ω_{i}

$\omega_i$ es la velocidad angular y

L_{i} = J_{i} ω_{i}

$L_i = J_i\omega_i$ es el momento angular de la partícula.

Si selecciona $\vec{r}_\text{cm}$ como el centro de rotación, estos valores se pueden calcular para cada partícula de la siguiente manera:

j_{i} = m_{i} ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{cm})^{2}

$J_i = \mu_i (\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm})^2$

{\vec{L}}_{i} = m_{i} [({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{cm}) \times {\dot{\vec{r}}}_{i}]

$\vec{L}_i = \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}) \times \dot{\vec{r}}_i\Bigr]$ La energía de rotación del sistema es la suma de las energías de rotación de las partículas:

{mi}_{putrefacción} = \sum_{i} \frac{L_{i}^{2}}{2 j_{i}}

$E_\text{rot} = \sum_i \frac{\;\; L_i^2}{2J_i}$

Hay dos energías de traslación:

energía de traslación de todo el sistema ${mi}_{cm} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{cm}^{2}$ $E_\text{cm}=\frac{1}{2}\sum_i \mu_i \dot{\vec{r}}_\text{cm}^2$
energía de traslación interna (ampliación y contracción sin rotación) ${mi}_{En t} = \frac{1}{2} \sum m_{i} {(\frac{d}{d t} | {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{cm} |)}^{2}$ $E_\text{int} = \frac{1}{2}\sum \mu_i \left(\frac{d}{dt}\left|\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}\right|\right)^2$

La energía total es la suma:

{mi}_{nene} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{i}^{2} = {mi}_{cm} + {mi}_{En t} + {mi}_{putrefacción}

$E_\text{tot} = \frac{1}{2}\sum_i \mu_i \dot{\vec{r}}_i^2 = E_\text{cm} + E_\text{int} + E_\text{rot}$

gracias por la respuesta. Aquí por $J$ te refieres al momento instantáneo de inercia, supongo que ya que cambia con el tiempo, por favor aclara
faltan los sigma (sumas) para la energía cinética rotacional, inclúyalos para completarlo y eliminar la ambigüedad de dónde colocar los sigma
@RajeshD Sí $J$ cambia con el tiempo, por lo que la energía interna total se redistribuye entre $E_\text{int}$ y $E_\text{rot}$ .

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

La energía cinética total $E$ se puede representar como una energía cinética del centro de masa $E_{CM}=\frac{M_{tot}\vec{V_{CM}}^2}{2}$ y la energía cinética del movimiento relativo (energía interna) $E_{int}=E-E_{CM}$ . Este último se puede representar como energía cinética del movimiento radial (en relación con CM) más una energía cinética del movimiento angular. Normalmente puede haber un intercambio repentino de energías radiales y angulares si las partículas chocan. Sólo se conserva su suma.

La colisión no es necesaria para el intercambio de energías radial y angular. La energía del movimiento radial es cero en el punto más cercano al centro y se aproxima a la energía cinética total cuando la partícula tiende al infinito. La única excepción es una partícula que pasa directamente por el centro.
@MaksimZholudev: Tienes razón, por supuesto. En el caso de solo dos partículas, está claro que a la distancia más cercana entre ellas, la energía cinética radial $\propto \dot{r}$ pasa su mínimo (cero).

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Rajesh D.

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