Demostrar la unicidad del tensor de rotación asociado a la rotación de un cuerpo rígido

Question

Demostrar la unicidad del tensor de rotación asociado a la rotación de un cuerpo rígido

Dan

Supongamos que hay $N$ Partículas incrustadas en un cuerpo rígido que experimenta una rotación aleatoria tal que:

{\bar{\bar{R}}}_{i j} \otimes {\vec{a}}_{i j} = {\vec{b}}_{i j}

$\overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \vec{b}_{ij}$

dónde,

$i$ y $j$ son sólo dos partículas al azar de la $N$ partículas
$\vec{a}_{ij}$ es un vector que conecta el $i^{th}$ y el $j^{th}$ partícula
$\vec{b}_{ij}$ es la versión rotada de $\vec{a}_{ij}$
$\overline{\overline {R}}_{ij}$ es el tensor de rotación responsable de la rotación de $\vec{a}_{ij}$ a $\vec{b}_{ij}$

pretendo demostrar que $\overline{\overline {R}}_{ij}$ permanece igual para todas las combinaciones de $i$ y $j$ perteneciente al conjunto $[1,N]$ para $(i \neq j)$ usando la definición más fundamental de un cuerpo rígido que es una colección de partículas que permanecen equidistantes entre sí.

Una actualización de mi esfuerzo:

Usando la definición de un cuerpo rígido, la distancia entre dos partículas permanece constante, también podemos decir que el producto escalar de dos vectores que unen las partículas incrustadas en el cuerpo rígido permanece igual antes y después de la rotación.

Entonces, teniendo en cuenta la $i^{th}, j^{th}, k^{th}$ y el $l^{th}$ partícula, podemos escribir -

el producto escalar de los vectores antes de la rotación = el producto escalar de los dos vectores después de la rotación

{\vec{a}}_{j i} \cdot {\vec{a}}_{yo k} = ({\bar{\bar{R}}}_{j i} \otimes {\vec{a}}_{j i}) \cdot ({\bar{\bar{R}}}_{yo k} \otimes {\vec{a}}_{yo k})

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk}=(\overline{\overline {R}}_{ji} \otimes \vec{a}_{ji}) \cdot (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \vec{a}_{lk})$

Ahora, usando la propiedad de isomorfismo canónico del producto tensorial:

\vec{X} \cdot (\bar{\bar{Z}} \otimes \vec{y}) = \vec{y} \cdot ({\bar{\bar{Z}}}^{T} \otimes \vec{X})

$\vec{x} \cdot (\overline{\overline Z} \otimes \vec{y}) = \vec{y} \cdot (\overline{\overline {Z}}^T \otimes \vec{x})$

Tenemos,

{\vec{a}}_{j i} \cdot {\vec{a}}_{yo k} = {\vec{a}}_{yo k} \cdot [{\bar{\bar{R}}}_{yo k}^{T} \otimes ({\bar{\bar{R}}}_{j i} \otimes {\vec{a}}_{j i})]

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{lk} \cdot [\overline{\overline {R}}^T_{lk} \otimes (\overline{\overline {R}}_{ji} \otimes \vec{a}_{ji}) ]$

Usando la propiedad asociativa del producto tensorial:

{\vec{a}}_{j i} \cdot {\vec{a}}_{yo k} = {\vec{a}}_{yo k} \cdot ({\bar{\bar{R}}}_{yo k}^{T} \otimes {\bar{\bar{R}}}_{j i}) \otimes {\vec{a}}_{j i}

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{lk} \cdot (\overline{\overline {R}}^T_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}_{ji}) \otimes \vec{a}_{ji}$

Entonces nuevamente usando la propiedad de isomorfismo canónico, tenemos:

{\vec{a}}_{j i} \cdot {\vec{a}}_{yo k} = {\vec{a}}_{j i} \cdot ({\bar{\bar{R}}}_{yo k} \otimes {\bar{\bar{R}}}_{j i}^{T}) \otimes {\vec{a}}_{yo k}

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{ji} \cdot (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji}) \otimes \vec{a}_{lk}$

Lo que implica,

{\vec{a}}_{j i} \cdot {[\bar{\bar{1}} - ({\bar{\bar{R}}}_{yo k} \otimes {\bar{\bar{R}}}_{j i}^{T})] \otimes {\vec{a}}_{yo k}} = 0

$\vec{a}_{ji} \cdot \{ [\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})] \otimes \vec{a}_{lk} \}=0$

Ahora, dado el hecho de que los vectores elegidos, $\vec{a}_{ji}$ y $\vec{a}_{lk}$ , no son cero, el lado izquierdo solo podría convertirse en cero bajo las siguientes condiciones:

O bien el último producto tensorial es cero
O el primer producto escalar es cero
O el tensor, $[\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})]$ , en sí mismo es cero
O cualquier combinación de las tres condiciones mencionadas anteriormente es verdadera

Ahora bien, si de alguna manera pruebo que el primero, el segundo y el cuarto punto están equivocados, me quedará una sola posibilidad de que, $[\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})]=0$ , demostrando que también es mi objetivo principal en este momento. Y aquí es donde necesitaba ayuda. Si se prueba lo que pedí, el resto de la tarea es bastante manejable. Gracias.

lewis molinero

Pista: Elija cualquier tercera partícula (k). Sume los vectores entre cualquiera de los dos para obtener el vector entre el primero y el tercero. Ahora suponga que el tensor de rotación no es único para el vector 1-3. Esto debería conducir a algo más que la suma de los 3 vectores en el marco rotado. Por lo tanto, la matriz de rotación es única.

Dan

@ Sir Lewis Miller Primero escribiré lo que creo que quiso decir. Corrígeme si estoy equivocado. Inicialmente:

{\vec{a}}_{j k} + {\vec{a}}_{i j} = {\vec{a}}_{k i}

$\vec{a}_{jk} + \vec{a}_{ij} = \vec{a}_{ki}$ Después de la rotación:

{\bar{\bar{R}}}_{j k} \otimes {\vec{a}}_{j k} + {\bar{\bar{R}}}_{i j} \otimes {\vec{a}}_{i j} = {\bar{\bar{R}}}_{k i} \otimes {\vec{a}}_{k i}

$\overline{\overline {R}}_{jk} \otimes \vec{a}_{jk} + \overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \overline{\overline {R}}_{ki} \otimes \vec{a}_{ki}$ lo que también implica:

{\vec{b}}_{j k} + {\vec{b}}_{i j} = {\vec{b}}_{k i}

$\vec{b}_{jk} + \vec{b}_{ij} = \vec{b}_{ki}$

Dan

Pero, señor, ¿cómo implican las ecuaciones anteriores que:

{\bar{\bar{R}}}_{j k} = {\bar{\bar{R}}}_{i j} = {\bar{\bar{R}}}_{k i}

$\overline{\overline {R}}_{jk}=\overline{\overline {R}}_{ij}=\overline{\overline {R}}_{ki}$ ? Creo que, para probar todo esto, también tendremos que usar el hecho de que la distancia entre las partículas permanece constante después de la rotación (para hacer cumplir la restricción impuesta por la rigidez del cuerpo).

Valter Moretti

La respuesta es elemental: ¡por definición! Un cuerpo rígido 3D es, por definición, un cuerpo tal que siempre hay un marco de referencia en reposo con él. Si describe la posición del cuerpo usando otro marco de referencia, en reposo con el laboratorio, la única rotación que entra en juego es la que conecta el marco del laboratorio con el marco de reposo, solo una rotación para todas las partículas del cuerpo.

Dan

@Sir Valter Moretti... Ya veo. No conocía esa definición antes. Por cierto, señor, intenté probarlo con otro enfoque y actualicé mi esfuerzo en la publicación original, pero todavía me estoy atascando al final y necesitaba su ayuda. ¡Muchas gracias por adelantado!

Dan

@Sir Valter Moretti... Pero quería probar que todo el cuerpo gira junto usando una definición más fundamental de que en un cuerpo rígido, la distancia entre partículas permanece constante.

Juan Alexiou

Realmente está preguntando, ¿ Por qué las rotaciones de cuerpos rígidos son ortonormales de tal manera que $R^{-1} = R^\intercal$ . Este es el punto en el que está atascado y debe mostrarlo en el título, de lo contrario, confundirá al lector.

Dan

@ ja72.. En realidad, en este momento no estoy tratando de probar lo que acabas de decir. Trataría de probarlo después de haber probado lo que estoy tratando de probar aquí, que es, 'El tenor de rotación para todo un cuerpo rígido es único'.

Juan Alexiou

Leí su última línea que dice: "Ahora, no estoy seguro de cómo probar que

{\bar{\bar{R}}}_{l k} = {\bar{\bar{R}}}_{j i}

$\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ . Y aquí es donde necesitaba ayuda".

Dan

@ ja72.. Sí, eso es correcto, señor. si pudiera probar

{\bar{\bar{R}}}_{l k} = {\bar{\bar{R}}}_{j i}

$\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ , entonces habría probado de manera equivalente que 'El tenor de rotación para un cuerpo rígido completo es único', que como mencioné, resulta ser mi objetivo principal.

Dan

@ ja72 Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.

Dan

@LewisMiller Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.

Dan

@ValterMoretti Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.

lewis molinero

@Dan Decidí verificar y ver si mi sugerencia podría resolver su problema. Puede ser en el caso especial de que elija tres partículas tales que las líneas que las unen formen un triángulo rectángulo. Haciendo uso del teorema de Pitágoras y del hecho de que el producto escalar entre los dos catetos más cortos se anula, puedes demostrar que si las matrices de rotación son todas diferentes (

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1, R_2, R_3$ ) entonces

R_{3}^{- 1} R_{2} = R_{3}^{- 1} R_{1} = I

$R_3^{-1}R_2=R_3^{-1}R_1=I$ . Esto demuestra que no son diferentes, sino idénticos.

Dan

@LewisMiller Muchas gracias, señor. Como dijiste, tu discusión es válida para un caso especial de un triángulo rectángulo. ¿Puede también ser generalizado de alguna manera para abarcar todo el cuerpo rígido?

lewis molinero

@Dan Sí, creo que mi resultado se puede generalizar. Toma tres puntos cualesquiera al azar y dibuja un triángulo. Ahora agregue un cuarto punto tal que el triángulo original se divida en dos triángulos rectángulos. Mi prueba ahora es válida para cada uno de estos triángulos y, por lo tanto, abarca dos de los catetos del triángulo original y dos partes del tercer cateto. Dado que la orientación de un vector es independiente de su magnitud, se cubre todo el tercer tramo.

Dan

@LewisMiller Ya veo. Por cierto, hice algunos progresos en la forma en que estaba abordando el problema (y nuevamente actualicé mi esfuerzo) y todo lo que queda por hacer ahora es probar que

({\bar{\bar{R}}}_{yo k} \otimes {\bar{\bar{R}}}_{j i}^{T}) = \bar{\bar{1}}

$(\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})=\overline{\overline {1}}$ con certeza matemática.

lewis molinero

@Dan Buena suerte. No estoy del todo seguro de que mi prueba fuera la forma más sencilla de demostrarlo. Es solo el primer enfoque que me vino a la mente.

Respuestas (1)

Demostrar la unicidad del tensor de rotación asociado a la rotación de un cuerpo rígido

Pista: Elija cualquier tercera partícula (k). Sume los vectores entre cualquiera de los dos para obtener el vector entre el primero y el tercero. Ahora suponga que el tensor de rotación no es único para el vector 1-3. Esto debería conducir a algo más que la suma de los 3 vectores en el marco rotado. Por lo tanto, la matriz de rotación es única.
@ Sir Lewis Miller Primero escribiré lo que creo que quiso decir. Corrígeme si estoy equivocado. Inicialmente: ${\vec{a}}_{j k} + {\vec{a}}_{i j} = {\vec{a}}_{k i}$ $\vec{a}_{jk} + \vec{a}_{ij} = \vec{a}_{ki}$ Después de la rotación: ${\bar{\bar{R}}}_{j k} \otimes {\vec{a}}_{j k} + {\bar{\bar{R}}}_{i j} \otimes {\vec{a}}_{i j} = {\bar{\bar{R}}}_{k i} \otimes {\vec{a}}_{k i}$ $\overline{\overline {R}}_{jk} \otimes \vec{a}_{jk} + \overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \overline{\overline {R}}_{ki} \otimes \vec{a}_{ki}$ lo que también implica: ${\vec{b}}_{j k} + {\vec{b}}_{i j} = {\vec{b}}_{k i}$ $\vec{b}_{jk} + \vec{b}_{ij} = \vec{b}_{ki}$
Pero, señor, ¿cómo implican las ecuaciones anteriores que: $\overline{\overline {R}}_{jk}=\overline{\overline {R}}_{ij}=\overline{\overline {R}}_{ki}$ ? Creo que, para probar todo esto, también tendremos que usar el hecho de que la distancia entre las partículas permanece constante después de la rotación (para hacer cumplir la restricción impuesta por la rigidez del cuerpo).
La respuesta es elemental: ¡por definición! Un cuerpo rígido 3D es, por definición, un cuerpo tal que siempre hay un marco de referencia en reposo con él. Si describe la posición del cuerpo usando otro marco de referencia, en reposo con el laboratorio, la única rotación que entra en juego es la que conecta el marco del laboratorio con el marco de reposo, solo una rotación para todas las partículas del cuerpo.
@Sir Valter Moretti... Ya veo. No conocía esa definición antes. Por cierto, señor, intenté probarlo con otro enfoque y actualicé mi esfuerzo en la publicación original, pero todavía me estoy atascando al final y necesitaba su ayuda. ¡Muchas gracias por adelantado!
@Sir Valter Moretti... Pero quería probar que todo el cuerpo gira junto usando una definición más fundamental de que en un cuerpo rígido, la distancia entre partículas permanece constante.
Realmente está preguntando, ¿ Por qué las rotaciones de cuerpos rígidos son ortonormales de tal manera que $R^{-1} = R^\intercal$ . Este es el punto en el que está atascado y debe mostrarlo en el título, de lo contrario, confundirá al lector.
@ ja72.. En realidad, en este momento no estoy tratando de probar lo que acabas de decir. Trataría de probarlo después de haber probado lo que estoy tratando de probar aquí, que es, 'El tenor de rotación para todo un cuerpo rígido es único'.
Leí su última línea que dice: "Ahora, no estoy seguro de cómo probar que $\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ . Y aquí es donde necesitaba ayuda".
@ ja72.. Sí, eso es correcto, señor. si pudiera probar $\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ , entonces habría probado de manera equivalente que 'El tenor de rotación para un cuerpo rígido completo es único', que como mencioné, resulta ser mi objetivo principal.
@ ja72 Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.
@LewisMiller Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.
@ValterMoretti Encuentre mi respuesta aquí. Vuelvo a escribir este comentario porque la última vez olvidé enviarte un ping.
@Dan Decidí verificar y ver si mi sugerencia podría resolver su problema. Puede ser en el caso especial de que elija tres partículas tales que las líneas que las unen formen un triángulo rectángulo. Haciendo uso del teorema de Pitágoras y del hecho de que el producto escalar entre los dos catetos más cortos se anula, puedes demostrar que si las matrices de rotación son todas diferentes ( $R_1, R_2, R_3$ ) entonces $R_{3}^{- 1} R_{2} = R_{3}^{- 1} R_{1} = I$ $R_3^{-1}R_2=R_3^{-1}R_1=I$ . Esto demuestra que no son diferentes, sino idénticos.
@LewisMiller Muchas gracias, señor. Como dijiste, tu discusión es válida para un caso especial de un triángulo rectángulo. ¿Puede también ser generalizado de alguna manera para abarcar todo el cuerpo rígido?
@Dan Sí, creo que mi resultado se puede generalizar. Toma tres puntos cualesquiera al azar y dibuja un triángulo. Ahora agregue un cuarto punto tal que el triángulo original se divida en dos triángulos rectángulos. Mi prueba ahora es válida para cada uno de estos triángulos y, por lo tanto, abarca dos de los catetos del triángulo original y dos partes del tercer cateto. Dado que la orientación de un vector es independiente de su magnitud, se cubre todo el tercer tramo.
@LewisMiller Ya veo. Por cierto, hice algunos progresos en la forma en que estaba abordando el problema (y nuevamente actualicé mi esfuerzo) y todo lo que queda por hacer ahora es probar que $({\bar{\bar{R}}}_{yo k} \otimes {\bar{\bar{R}}}_{j i}^{T}) = \bar{\bar{1}}$ $(\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})=\overline{\overline {1}}$ con certeza matemática.
@Dan Buena suerte. No estoy del todo seguro de que mi prueba fuera la forma más sencilla de demostrarlo. Es solo el primer enfoque que me vino a la mente.

Almiar · Answer 1

Tu problema

Si estás tratando de probar que todo $R$ debe ser igual para que todas las distancias permanezcan iguales después de la rotación, fallarás, ya que no es cierto. Rotación $R_{ij}$ podría ser reemplazada por cualquier otra rotación que solo difiera en una rotación sobre $a_{ij}$ por ejemplo, digamos que tienes puntos $i=\langle 0,0,0 \rangle$ $j=\langle 1,0,0 \rangle$ y todo $R$ eran $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ entonces $R_{ij}$ podría ser cualquier matriz tal que $R_{ij} \otimes \langle 1,0,0 \rangle = \langle -1,0,0 \rangle$ y cualquier matriz de la forma $\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -1 & c & d \\ 0 & e & f \end{bmatrix}$ bastaría. Este es un ejemplo trivial para demostrar el punto, pero el mismo concepto es cierto en general.

Lo que creo que realmente te interesa

Demostrar que para un conjunto de puntos con coordenadas $p_i$ que se desplazan arbitrariamente a coordenadas $p'_i$ que si las distancias entre cada par de puntos permanece constante a lo largo del desplazamiento, que existe un único $R$ tal que $R\otimes p_i=p'_i$

Y para comenzar con la prueba que puede usar $|p_i-p_j|=|p'_i-p'_j|$ como la restricción de distancia, que se puede reescribir como $(p_i-p_j)\cdot(p_i-p_j)=(p'_i-p'_j)\cdot(p'_i-p'_j)$

Una cosa con la que sin duda te encontrarás es que la cantidad de puntos es importante. Debes tener al menos $n\frac{n-1}2$ puntos, donde n es el número de dimensiones que tiene, para que la restricción única se cumpla.

Esta pregunta y esta respuesta demuestran que $n(n-1)/2$ es el número óptimo.

Demostrar la unicidad del tensor de rotación asociado a la rotación de un cuerpo rígido

Dan

lewis molinero

Dan

Dan

Valter Moretti

Dan

Dan

Juan Alexiou

Dan

Juan Alexiou

Dan

Dan

Dan

Dan

lewis molinero

Dan

lewis molinero

Dan

lewis molinero

Respuestas (1)

Almiar

Tu problema

Lo que creo que realmente te interesa

usuario154997

Torque alrededor del origen de una partícula usando el momento de inercia (en 2D)

Aceleración de la varilla pivotada

¿Cómo rotaría este sistema multicuerpo en el espacio libre?

¿Por qué las ruedas están hechas para transportar más masa en la circunferencia?

¿Cómo gira un cuerpo rígido formado por dos partículas?

¿Una fuerza realiza más trabajo sobre un cuerpo extendido?

Una confusión en la dinámica rotacional

Cilindro vs cilindro del doble de radio ruedan por un plano inclinado, ¿cuál gana?

La dirección de la fuerza centrípeta en un movimiento circular vertical bajo gravedad uniforme

Cómo derivar una relación para la derivada del tiempo en un marco de referencia giratorio