¿Una fuerza realiza más trabajo sobre un cuerpo extendido?

Puedes aplicar una fuerza de la misma magnitud en ambos casos, y el trabajo será diferente. La razón es que los desplazamientos son diferentes. El CM se desplazará en la misma cantidad, por lo que la energía cinética final del CM será la misma en ambos casos. Pero en el caso del objeto extenso el punto de aplicación desplaza más que el CM, por eso la obra es mayor. Este trabajo adicional terminará como energía cinética rotacional.

varilla cilíndrica de masa M y longitud l. Supongamos que una fuerza$\mathbf{F}$de magnitud y dirección constantes (aunque móvil) se aplica sobre la barra a una distancia$r$del COM para un desplazamiento$\boxed{d}$.

voy a asumir que$d$es el desplazamiento del CM. Corrígeme si estoy equivocado.

Describiré brevemente la configuración (para que pueda corregirme si no es la configuración que describe):

Sea una barra uniforme de masa$M$y longitud$L$estar en reposo con su CM en el origen y su eje orientado a lo largo del$y$-eje [Los puntos finales están en$(0,-L/2)$y$(0,L/2)$]. Ahora, una fuerza constante$\mathbf{F}=F\hat{i}$se aplica en el punto que está a una distancia$r$por encima del CM de la varilla (Llamémosle a ese punto$P$). Dejar$\theta$ser el ángulo que forma la varilla con la dirección vertical [Inicialmente,$\theta=0$]. Digamos que el movimiento comienza en$t=0$y termina en$t=T$y evaluar el trabajo realizado por$\mathbf{F}$durante ese período.

El trabajo realizado por una fuerza$\mathbf{F}$en un cuerpo rígido =$W$=$\int \mathbf{F} \cdot\mathbf{v}_{\text{of the point of application of $\mathbf{F}$}}\;dt=\int \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_P \; dt$

Según su suposición,

El trabajo realizado por la fuerza$\mathbf{F}$es mayor que$Fd$y el exceso de trabajo es responsable de proporcionar la energía cinética de rotación de la varilla.

Si hubiera sido una masa puntual bajo la acción de$\mathbf{F}$, entonces el trabajo realizado habría sido$W=Fd = \frac{1}{2}Mv_{\text{of the point mass | final}}^2$

$^*$ $\mathbf{v}_P = \mathbf{v}_{\text{P wrt CM}} + \mathbf{v}_{CM}$

Preocupación del OP:

Puesto que una fuerza$\mathbf{F}$se aplica sobre la varilla entonces un trabajo

$$W_{translational} = \mathbf F \cdot \mathbf d$$

Lo que has dicho aquí es correcto. Aquí, creo que estás asumiendo el desplazamiento del punto.$P$ser$\mathbf{d}$y no el desplazamiento de CM a ser$\mathbf{d}$. Para mantener la consistencia en mi respuesta, llamaré al desplazamiento del CM como$\mathbf{d}$como antes y encuentre el desplazamiento del punto$P$dada por$\Delta \mathbf{s}_P$.

Digamos que la orientación final de la varilla es$\theta=\theta_{\text{final}}$. Entonces, encontramos$\Delta \mathbf{s}_P = (d + r\sin \theta_{\text{final}})\hat{i}+(r-r\cos \theta_{\text{final}})\hat{j}$. Sustituirlo en$(5)$Llegar:

El resultado coincide con$(3)$cuando sustituyes$\ddot{\theta}=\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}$e integrarlo.

Entonces, ¿cómo la misma fuerza para el mismo desplazamiento realiza un trabajo diferente?

Desde aquí, puedes ver que$\Delta \mathbf{s}_P \neq \Delta \mathbf{s}_{CM}=\mathbf{d}$. Entonces, los desplazamientos no son los mismos.

Si aplicas la fuerza a una distancia$r$a lo largo de la varilla y durante ese tiempo gira una distancia$d_{cm}$y pequeño_ángulo$\theta$, entonces el punto donde aplicas la fuerza se mueve por$d_{cm} + r \theta$.

Esto significa que el trabajo realizado y la energía añadida son$F d_{cm} + F r \theta$.

El primer término es el aumento de energía de traslación y el segundo es el aumento de energía de rotación.

Para ángulos más grandes, el cálculo involucra algo de trigonometría, pero el resultado básico es el mismo.