¿Cómo rotaría este sistema multicuerpo en el espacio libre?

Perdón por el título vago, pero por favor lea mi pregunta a continuación

Imagine un cuerpo rígido b con una cola de masa puntual t unida a su espalda en la articulación J. La cola tiene 1 DoF y puede ser accionada por un motor con eje de rotación M (paralelo al eje de guiñada). Todo el sistema está en el espacio libre (es decir, sin efecto de la gravedad y la resistencia del aire) y está en reposo (es decir, momento angular/lineal inicial cero y sin fuerza externa/torque actuando).

Además, suponga que el COM del sistema está ubicado en la junta J y la cola está alineada con el eje de balanceo del cuerpo.

Editar: se supone que el COM del cuerpo está en b .

La configuración inicial se muestra a continuación en la imagen:

configuración_inicial

Ahora, si se gira la cola, el cuerpo girará en la dirección opuesta, ya que no se aplica ningún par externo y el momento angular permanecerá conservado (es decir, cero). Como no actúa ninguna fuerza externa, la posición de COM del sistema no cambiará, es decir, la junta J será estática. Esto debería verse como -

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pero entonces, el nuevo COM del sistema no estaría en J' (ya que el COM del sistema debería estar en la línea que une el centro de masa del cuerpo y la cola). ¿No es esto incorrecto?

Mi pregunta es, ¿por qué sucede esto? ¿Cómo deberían girar el cuerpo y la cola para satisfacer tanto la conservación del momento angular (sin momento de torsión externo) como del centro de masa (sin fuerza externa)?

Si es posible, responda con las ecuaciones pertinentes. Además, explique con un diagrama que muestre la posición del cuerpo, la cola, la junta J y el COM del sistema asumiendo la misma configuración inicial.

¿Cómo llegó a su nueva posición COM en el diagrama? ¿Por qué crees que es correcto o incorrecto?
@BillN He asumido que el COM del cuerpo está en b [Fig. 1]. Entonces, el COM del sistema debe estar en la línea que une el centro de masa del cuerpo y la cola.
¿Por qué dibujaste el COM en movimiento? ¿Por qué mantuvo la esquina inferior de la masa de la caja en el mismo y ubicación (si y es vertical en su diagrama)?
El COM del sistema desde la condición inicial está en J. Entonces, el cuerpo rotará alrededor de J. Como, el COM del sistema no debe moverse (sin fuerzas externas). Pero, entonces, si volvemos a calcular el COM del sistema, estará en J' (como se explicó anteriormente). En cuanto a la esquina inferior, se ha desplazado ligeramente (no se ve bien en la figura), J está fijo.

Respuestas (3)

Todo el objeto está en reposo en un sistema de coordenadas externo S que está fijado a su hoja de papel de dibujo. Es decir, el CM del objeto (el punto J ) está en X → en arena X → no está cambiando con el tiempo. Después de que un pequeño resorte (que es parte del objeto) gira la cola con respecto al cuerpo, el nuevo CM está en J' como si lo hubieras dibujado en el cuerpo, excepto que alejaste incorrectamente J' de J en tu papel de dibujo. . J' permanece en X → y deberías haber vuelto a dibujar la cola doblada + el cuerpo más abajo en el papel para que así sea.

Esta es solo una forma elaborada de la respuesta de Michael Seifert que correctamente fue " J′ terminará en la posición original de J en el espacio". Deberías haber movido tu segundo dibujo para que J' estuviera en el mismo lugar que J en tu papel de dibujo.

Si tuviera que fijar el cuerpo b y mover la cola, entonces el COM sería una función del ángulo de la cola. Use un sistema de coordenadas donde la articulación J esté en el origen y encuentre el COM en función del ángulo de cola θ

Figura 1

C O METRO ( θ ) = ( metro b C − metro t ℓ porque ⁡ θ metro b + metro t − metro t ℓ pecado ⁡ θ metro b + metro t )

tal que con C = metro t metro b ℓ y θ = 0 el COM está en el origen.

Ahora, cuando el cuerpo b está libre, cinemáticamente la articulación podría estar en cualquier lugar. yo uso las coordenadas ( X b y b ) para la ubicación de la junta.

De la cinética del problema, el centro de masa permanece fijo en el origen, lo que significa que lo siguiente debe ser cierto

( X b y b ) + ( metro b C − metro t ℓ porque ⁡ θ metro b + metro t − metro t ℓ pecado ⁡ θ metro b + metro t ) = ( 0 0 )

que produce la siguiente solución de la posición conjunta

X b = − metro b C − metro t ℓ porque ⁡ θ metro b + metro t
y b = metro t ℓ pecado ⁡ θ metro b + metro t

Así que cuando la cola se desplaza con θ como se muestra arriba, la articulación se mueve un poco hacia arriba y hacia la izquierda. Pero el COM permanece en (0,0).

Pero como no hay fuerzas externas, el COM del sistema no debería moverse, ¿verdad? Si se mueve, ¿no estamos violando la segunda ley del movimiento de Newton?
Además, estoy un poco abrumado con las ecuaciones en tu caso, si es posible, explícalo en términos simples.
@Alu - eso es cierto. El COM combinado permanece fijo, pero el pivote acelera verticalmente. Partiendo del reposo, el vector de aceleración vertical de la cola es METRO metro t ℓ mientras que la aceleración del cuerpo COM es − METRO metro b ℓ . Por lo tanto, la aceleración del COM combinado es
metro t ( METRO metro t ℓ ) + metro b ( − METRO metro b ℓ ) = 0
Como se supone en la condición inicial, el COM está en el pivote J, por lo que, en teoría, el pivote J no debería moverse. Lo siento, pero sigo sin poder entender tu punto.
Para sistemas multicuerpo, el COM combinado no se mueve (o se mueve con velocidad constante), pero eso no significa que el pivote no se moverá. El pivote no es el COM, solo coincide en ese instante. Cada configuración de ángulo de pivote da como resultado una ubicación COM diferente en relación con el cuerpo principal (se mueve con la cola).
@Alu: reescribió completamente la respuesta que espera que entiendas lo que está pasando aquí.

Si j está fijo en el espacio, entonces el cuerpo no está libre y se pueden ejercer fuerzas sobre el sistema que permiten que el COM se mueva. Alternativamente, si j no es fijo, entonces el COM permanecerá en reposo; y si la "cola" se mueve en relación con el "bloque", entonces j ′ terminará en la posición original de j en el espacio.

J no está soportado por ningún medio, es decir, también es libre de moverse como todo el sistema que está en el espacio libre. Pero, como el COM del sistema se encuentra en J, no se moverá ya que no actúa ninguna fuerza o par externo sobre el sistema.
@Alu: Mi punto es que las leyes de la física dicen que el COM permanece fijo para un sistema aislado. Mientras j se encuentra en el COM, permanecerá fijo. Pero si la distribución de masa en el cuerpo cambia, y j ya no se encuentra en el COM, entonces j debe alejarse de su ubicación original.
Por favor, explíquelo con un diagrama que muestre la posición del cuerpo, la cola, la articulación J y el COM del sistema. Suponga la misma configuración inicial.
@Alu: probablemente no tendré tiempo para dibujar un diagrama en los próximos días, pero trataré de recordar volver a esto cuando tenga más tiempo. Sin embargo, honestamente, su diagrama anterior serviría bastante bien para esto si cambiara la nueva configuración para que j ′ se encuentra en la antigua ubicación de j .
¿Cómo rotaría este sistema multicuerpo en el espacio libre?
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