La derivación de las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz

Tomé la forma de clasificación de las representaciones de grupos de Lorentz de Sexl, Urbantke, Relativity, groups and partículas (Germ. ed. 1975). Pero no lo entiendo como lo esbozo a continuación:

En el álgebra de Lie real del grupo de Lorentz son válidas las siguientes relaciones de conmutación:$[ M_\mu, M_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$,$[ N_\mu, N_\nu] =-\epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$y$[ N_\mu, N_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} N_\lambda$.

Un elemento infinitesimal del grupo de Lorentz viene dado por$Id +\vec{\alpha}\bf{M}+\vec{v}\bf{N}$,$\vec{\alpha}$y$\vec{v}$(vector de rotación y vector de velocidad, velocidad de la luz c=1) son parámetros reales. Si se elige una base diferente$M^{\pm}_\mu = \frac{1}{2}(M_\mu\pm iN_\mu)$las relaciones de conmutación se revierten en las siguientes relaciones:

$[ M^\pm_\mu, M^\pm_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M^\pm_\lambda$, y$[M^+_\mu, M^-_\nu]=0$.

Esta es el Lie-álgebra de la suma directa$so(3)\oplus so(3)$(o$su(2) \oplus su(2)$si lo desea) o y, por lo tanto, todas las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz están dadas por las representaciones irreducibles de$SO(3) \times SO(3)$. El problema que tengo es que para hacer este argumento es necesario pasar por representaciones complejas del grupo de Lorentz ya que la descomposición del Lie-álgebra del grupo de Lorentz solo funciona con números complejos. Un elemento infinitesimal del grupo de Lorentz ahora está dado por$Id + (\vec{\alpha} - i\vec{v})\bf{M}^+ (\vec{\alpha} +i\vec{v})\bf{M}^-$pero ahora los parámetros son complejos. De hacerlo así no cambiaría la reducibilidad de las representaciones según Sexl, Urbantke.

En realidad, tengo un contraejemplo: mira el siguiente ejemplo del grupo de Lorentz.

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 \\E'_2 \\E'_3 \\B'_1 \\B'_2 \\B'_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0& 0 & 0&0\\ 0 & \gamma & 0 & 0 & 0& -\gamma v\\ 0 & 0& \gamma & 0 &\gamma v & 0\\ \gamma & 0 & 0& 1& 0 & 0\\0 & 0& \gamma v& 0 & \gamma & 0 \\ 0 & -\gamma v &0 & 0& 0& \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E_1 \\E_2 \\E_3 \\B_1 \\B_2 \\B_3 \end{array}\right)$$

Esta es una representación irreductible real del grupo de Lorentz. Sin embargo, si ahora se consideran representaciones complejas, la base se puede cambiar a una base compleja y dentro de esta base la representación es reducible y se descompone en 2 representaciones complejas irreducibles:

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 + iB'_1\\E'_2+iB'_2 \\E'_3+iB'_3 \\E'_1-iB'_1 \\E'_2 -iB'_2\\E'_3 -iB'_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0&0 & 0\\ 0 &\gamma & i\gamma v& 0 & 0& 0\\ 0 &-i\gamma v & \gamma & 0 &0& 0\\ 0& 0& 0& 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0& 0& \gamma & -i\gamma v \\ 0 &0& 0& 0 & i\gamma v& \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_1 + iB_1\\E_2+iB_2 \\E_3+iB_3 \\E_1-iB_1 \\E_2 -iB_2\\E_3 -iB_3\end{array}\right)$$

Con parámetros reales la representación es irreducible mientras que con números complejos es reducible. Eso significa que usar números reales o complejos hace una diferencia en la teoría de la representación.

Por lo tanto, no puedo entender por qué las representaciones del grupo de Lorentz pueden clasificarse (tan fácilmente) de acuerdo con el argumento dado.

Mientras tanto, aprendí que usar números complejos en la teoría de grupos de Lie es bastante conveniente, pero en física casi todos los grupos de Lie son$\bf{real}$grupos y el$\bf{real}$las representaciones tienen que ser clasificadas y comprendidas. Espero que alguien aquí tenga una comprensión más profunda que la mía y pueda explicarme.