De las representaciones irreducibles del álgebra de Lorentz a las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz

Mis notas de clase establecen que necesitamos clasificar todas las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo de Lorentz ortocrónico adecuado para formular una QFT para partículas con espín distinto de cero.

Esto se hace caracterizando el álgebra de Lorentz por los valores propios a ( a + 1 ) y b ( b + 1 ) del cuadrado de los operadores

A → = 1 2 ( j → + i k → ) B → = 1 2 ( j → − i k → ) ,
dónde j → es el generador de rotación y k → el generador de impulsos.

La representación correspondiente del grupo de Lorentz se obtiene tomando el mapa exponencial de operadores particulares como σ → 2 , 0 para a = 1 2 , b = 0 .

Poder A → 2 un B → 2 ser entendido como los Casimiros del álgebra de Lie o tienen algo en común con el concepto (me falta algo de comprensión aquí)?

¿Cómo puedo garantizar que tomando el mapa exponencial de una representación irreducible del álgebra de Lie me da una representación irreducible en el grupo de Lie correspondiente?

Hice una pregunta relacionada con Matemáticas : math.stackexchange.com/q/2316362 , tal vez sea de alguna ayuda.
Comentario a la pregunta (v2): ¿Estás hablando del grupo/álgebra restringida de Lorentz, o de su complejización?
Para ser honesto, no puedo decirlo. No hemos profundizado tanto en la teoría de grupos en nuestro curso de física teórica de partículas. Me encontré con esta cosa de la complejidad, al buscar aquí y en Wikipedia, pero no pude entenderlo. ¡Por favor, siéntase libre de explicar cómo se relacionan esas cosas!
WP no es útil?
Esto responde más o menos a mi segunda pregunta. Lo que todavía no entiendo es la noción de esta parte: “En general, sin embargo, no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo. Este hecho, por ejemplo, se encuentra detrás de la distinción entre espín entero y espín medio entero en la mecánica cuántica. ”. Esto está relacionado con la representación proyectiva, si lo entiendo correctamente, pero no entiendo el artículo sobre ellos, ya que (como se mencionó anteriormente) me faltan algunos conocimientos matemáticos. ¿Podría intentar explicar esto o señalar una buena referencia?
Dos buenas referencias para las representaciones proyectivas son The Quantum Theory of Fields, Vol. I, capítulo 2 de Weinberg , y Lie groups, Lie algebras y Representations: An Elementary Entroduction de Brian C. Hall . (El primero no es fácil de leer, pero cubre representaciones de dimensión infinita). También hay una versión detallada del artículo de Wikipedia sobre las representaciones del grupo de Lorentz en Wikiversity . Sigue la construcción de Hall.

Respuestas (1)

  1. Irreducible de dimensión finita

    • (i) representaciones de la doble cubierta S pag i norte + ( 1 , 3 , R ) ≅ S L ( 2 , C ) del grupo restringido de Lorentz S O + ( 1 , 3 ; R ) ,

    • (ii) representaciones del álgebra de Lie correspondiente s o ( 1 , 3 ; R ) ,

    • (iii) representaciones proyectivas del grupo restringido de Lorentz S O + ( 1 , 3 ; R ) ,

    todos están etiquetados por dos semienteros no negativos

    ( a , b )   ∈   1 2 norte 0 × 1 2 norte 0 .

    Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

  2. Si a + b   ∈   norte 0 es un número entero, también es una representación grupal del grupo restringido de Lorentz S O + ( 1 , 3 ; R ) sí mismo.

  3. A i y B i , i ∈ { 1 , 2 , 3 } , son los 3 + 3 = 6 generadores del álgebra de Lie complejizada

    s o ( 1 , 3 ; C )   ≅   s yo ( 2 , C ) A ⊕ s yo ( 2 , C ) B ,
    con Casimiros cuadráticos A → 2 y B → 2 .

  4. El mapa exponencial Exp : s o ( 1 , 3 ; R ) → S O + ( 1 , 3 ; R ) porque el grupo restringido de Lorentz es sobreyectivo, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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