Significado de los generadores de Lorentz

los$L_{\mu\nu}$son generadores infinitesimales de la transformación de Lorentz en el espacio de campos/funciones . Si desea verlos como operadores en un espacio de Hilbert, simplemente considere el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado. Los conmutadores de la$L_{\mu\nu}$son las relaciones de conmutación del álgebra de Lie$\mathfrak{so}(1,3)$, por lo que forman una representación de dicha álgebra.

Los índices griegos realmente significan que$L_{\mu\nu}$es un tensor de Lorentz - simplemente compruebe lo que le sucede bajo la transformación$x\mapsto \Lambda x$. De hecho, generan transformaciones de Lorentz en el sentido de que si observas el$L_{\mu\nu}$como campos vectoriales en el espacio de Minkowksi$\mathbb{R}^{1,3}$, entonces las curvas integrales de estos campos vectoriales son de la forma$x(t) = \Lambda(t)x_0$, dónde$\Lambda(t)$es una transformación de Lorentz que actúa sobre el punto de partida arbitrario$x_0$de la curva integral. Esto también se explica con más detalle en el artículo de Wikipedia sobre el álgebra de Lie del grupo de Lorentz .

Se supone que debes leer esa suma como una suma en un producto tensorial. Tienes la representación "natural" del$L_{\mu\nu}$en el espacio de funciones, y ahora, en la mecánica cuántica, puede tener grados de libertad de espín "internos", por ejemplo, un campo con valor de espinor como un campo de espinor de Dirac. Luego tomas tu espacio de funciones de valor real$F$y el espacio espinoso$\mathbb{C}^4$, donde el$L$guiarse por$F$y la acción del álgebra de Lorentz sobre$\mathbb{C}^4$es dado por el$S$, y forman el espacio combinado$F\otimes\mathbb{C}^4$de campos/funciones con valores de espinor. Entonces la acción del álgebra de Lorentz sobre este espacio viene dada por$L_{\mu\nu}\otimes 1 + 1\otimes S_{\mu\nu}$, que a menudo se escribe descuidadamente como$L+S$.