¿La curvatura de Berry en el grafeno monocapa perfecto es cero?

Estoy luchando por reconciliar dos conceptos y entender si la curvatura de Berry en el grafeno es cero o distinta de cero. Siguiendo la referencia aquí , dado un hamiltoniano genérico de dos niveles (ecuación 1.15)

H = σ ⋅ h

dónde σ = ( σ X , σ y , σ z ) es el vector de matrices de Pauli, la curvatura de Berry en forma vectorial es (ecuación 1.20)

Ω = 1 2 h h 3

Por lo tanto, parece que el hamiltoniano de baja energía del grafeno H = σ X k X + σ y k y debe ser distinto de cero y k -dependiente, en realidad no lo es Ω = k / 2 k 3 ?

Sin embargo, en la misma referencia (ecuación 3.22) continúa diciendo que en el grafeno (el mismo hamiltoniano que el anterior) "la curvatura de Berry se desvanece en todas partes excepto en los puntos de Dirac donde diverge", es decir, es cero en casi todas partes. Estas dos afirmaciones parecen contradictorias. Agradecería ayuda para entender lo que no entiendo aquí.

Respuestas (1)

La declaración precisa debe ser:

El tercer componente de la curvatura de Berry Ω 3 = Ω ⋅ mi 3 se desvanece en todas partes excepto en los puntos de Dirac donde no está bien definido (divergente).

¿ Por qué debemos preocuparnos por el tercer componente de la curvatura de Berry? Porque es el único componente que contribuye al número de Chern C de una estructura de banda 2D

C = 1 2 π ∫ BZ d 2 k Ω 3 ( k ) .
Por lo tanto Ω 3 también se denomina densidad de flujo de Berry o densidad de Chern. De hecho, la curvatura de Berry cerca del punto de Dirac está dada por Ω = k / 2 k 3 , que no se desvanece. Pero dado el impulso k = ( k X , k y , 0 ) se encuentra en el X y -plano y no tiene un tercer componente, por lo que la densidad de flujo de Berry Ω 3 se desvanece en todas partes excepto en el origen.

Para ver qué sucede en el origen, necesitamos regularizar el problema con una masa pequeña. Considerar

H = k X σ X + k y σ y + metro σ z .
uno encuentra
Ω 3 ( k ) = metro 2 ( k 2 + metro 2 ) 3 / 2 .
Como metro → 0 , uno puede ver que Ω 3 ∼ metro / k 3 → 0 se desvanece por todas partes (mientras k ≠ 0 ). Pero en el punto de Dirac donde k = 0 , Ω 3 ∼ ± 1 / metro 2 → ± ∞ diverge a cualquiera + ∞ o − ∞ dependiendo del signo de la masa metro . En este caso, dado que la banda prohibida desaparece, el número de Chern no está bien definido, por lo que, por lo general, tampoco tiene sentido hablar de la densidad de flujo de Berry en el punto de Dirac.

¿Por qué dices que la curvatura de Berry es Ω = k / 2 k 3 y no Ω = 0 ?
@RubenVerresen Porque la tercera dirección de k es la masa de Dirac metro , es decir k = ( k X , k y , metro ) . Esta es también la fórmula de la curvatura de Berry alrededor de un punto de Wyle.
Gracias por la respuesta, pero me refería a su declaración anterior donde discute el caso. metro = 0 y decir que la curvatura de Berry no es cero (pero Ω 3 = 0 ).
@RubenVerresen Recuerde la fórmula del campo estático eléctrico alrededor de una carga puntual mi ∝ r / r 3 . solo estoy reemplazando mi por Ω y r por k . La razón por la que hago esto es porque la curvatura de Berry se emite desde un monopolo magnético en el k = ( k X , k y , metro ) espacio y el monopolo se encuentra en el origen. Esta fórmula es válida para ambos metro = 0 y metro ≠ 0 . metro = 0 solo significa que el BZ (como un plano 2D) atraviesa el monopolo, por lo que Ω 3 = 0 pero Ω 1 , 2 todavía no desaparece.
¡Oh, ya veo lo que estás haciendo! Si, en cambio, uno trabaja directamente con el espacio de momento bidimensional, se obtiene Ω = 0 . Esto es lo que me confundió.
@RubenVerresen Sí, si uno trabaja directamente dentro del espacio de impulso 2D, solo Ω 3 se puede definir, y de hecho Ω 3 = 0 como se menciona en la respuesta. Ω 1 , 2 no se puede definir sin hacer referencia a la 3ª dirección, es decir, la dirección de metro .
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