Restricciones de simetría de inversión a la curvatura de Berry en 2D

Se dice que si una red tiene simetría de inversión, entonces la curvatura de Berry, Ω → ( k → ) está incluso en k → , es decir

Ω → ( k → ) = Ω → ( − k → )
También he derivado esto cuando la transformación de inversión cambia el signo de cada coordenada, que es lo que sucede cuando tenemos un número impar de dimensiones. En 2 D Sin embargo, la transformación de inversión es equivalente a una reflexión, es decir, solo cambia el signo de una coordenada. Por ejemplo
PAG ( X , y ) T = ( X , − y )
dónde PAG es la transformación de inversión.
En este caso, encuentro que bajo simetría de inversión,
Ω → ( k 1 , k 2 ) = − Ω → ( k 1 , − k 2 )
Si esto es cierto, entonces cada uno de los dos casos (número impar de dimensiones VS número par de dimensiones) otorga restricciones muy diferentes a la curvatura de Berry (y por lo tanto al número de Chern). Todas las fuentes que he leído sobre simetrías y su relación con la estructura de la banda y las cantidades relacionadas con la fase Berry no comentan sobre esto. Algunos solo comentan que si tenemos simetría de inversión (en la forma de la primera ecuación dada arriba), la curvatura de Berry es par en k → .

Entonces, me pregunto por qué no comentan también sobre el caso de un número par de dimensiones, ya que muchos modelos se refieren al 2 D caso (como el modelo Qi-Wu-Zhang, o el modelo Haldane para el grafeno)? ¿El 2 D caso no dar diferentes restricciones al número de Chern?

Respuestas (1)

En 2D, la inversión no es completamente equivalente a la reflexión.

En términos generales, si imaginas que tienes un plano 2D en 3D y le haces esta operación al plano, el resultado

( X , y , z ) → ( X , − y , z ) ( 1 )
estaría "al revés" en comparación con el resultado de una transformación de paridad en el plano de la forma
( X , y , z ) → ( − X , − y , z ) ( 2 )
como se puede ver desde un π rotación alrededor de la y -eje. Así que también tendrías que tener en cuenta este efecto. Podemos ilustrar esto con el siguiente ejemplo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esta distribución de flechas es invariante bajo la ley de transformación (2). Es invariante bajo inversión en el sentido usual. Sin embargo, cuando aplicamos la ley (1) el resultado es

ingrese la descripción de la imagen aquí

Claramente (1) no es simetría en esta situación, mientras que (2) sí lo es. Por lo tanto, la inversión no es lo mismo que voltear una coordenada.

Como esta respuesta recibe una respuesta mixta, quiero elaborar desde un ángulo diferente. Tiene que ver con el sentido de rotación y es la raíz del problema. Si haces tu transformación de paridad según la prescripción (2) se conserva el sentido de rotación del plano, mientras que no lo es para la prescripción (1), donde X y y esencialmente cambiar sus roles.

Para cerrar el círculo a la discusión de la fase Berry, hay un argumento físico simple basado en un análisis semiclásico. Proporciona una expresión para la velocidad del estado de Bloch. norte k (en representación de momento cristalino) en presencia de un campo eléctrico externo mi como

v norte = 1 ℏ ∂ ϵ norte ( k ) ∂ k − mi ℏ mi × Ω norte ( k ) .

Basándose en este resultado, se pueden deducir inmediatamente las propiedades de simetría. Una inversión espacial 3D de la forma. X → − X cambiará el signo de v norte , mi y k . esto arregla Ω norte ( k ) = Ω norte ( − k ) .

Este análisis se aplica a la inversión en el plano según la ecuación. (2). Podemos ver esto observando más de cerca el segundo término. En 2D, sólo el Ω z término es finito y por lo tanto

mi × Ω norte = ( mi X mi y mi z ) × ( 0 0 Ω norte z ) = ( mi y Ω norte z ( k X , k y ) − mi X Ω norte z ( k X , k y ) 0 ) ⟶ ( 2 ) ( − mi y Ω norte z ( − k X , − k y ) + mi X Ω norte z ( − k X , − k y ) 0 ) .
Para encontrar
( v X v y 0 ) ⟶ ( 2 ) ( − v X − v y 0 ) ,
requerimos eso Ω norte ( k ) = Ω norte ( − k ) aún mantiene.

¿Qué hay de su propuesta, es decir, Eq. (1)? Supongamos que nuestro sistema tiene esta simetría. un componente de v norte , mi y k cambiar de signo mientras que el otro no. Podemos calcular esto de nuevo explícitamente

( mi y Ω norte z ( k X , k y ) − mi X Ω norte z ( k X , k y ) 0 ) ⟶ ( 1 ) ( − mi y Ω norte z ( k X , − k y ) − mi X Ω norte z ( k X , − k y ) 0 ) .
Aquí, queremos ver que
( v X v y 0 ) ⟶ ( 1 ) ( v X − v y 0 ) .
Esto significa que bajo simetría Eq. (1), requerimos que Ω norte z ( k X , k y ) = − Ω norte z ( k X , − k y ) . Sin embargo, la suposición crucial es que la Ec. (1) es una simetría de su cristal. De lo contrario, este argumento se desmorona. Y como he mostrado anteriormente, la ecuación de simetría. (1) y la ecuación. (2) son de hecho diferentes en general. El sistema transformado aparece "al revés" frente al original. Corrija este efecto y la curvatura de Berry se transforma nuevamente de la manera esperada.

Más sobre esto se puede encontrar en la sección III. B de Xiao, Di, Ming-Che Chang y Qian Niu. "Efectos de la fase de bayas en las propiedades electrónicas". Reseñas de física moderna 82.3 (2010): 1959.

Esta respuesta parece recibir una reacción mixta en términos de votos a favor y en contra. Sería interesante escuchar algunos argumentos (a favor o en contra)
Si bien no he votado a favor ni en contra de su respuesta, siento que falta con respecto a mi pregunta. En particular, no aborda las restricciones que se imponen a la curvatura de Berry y sus consecuencias, que se encuentran en el centro de mi pregunta. Si bien lo que respondió es correcto (y me habría ayudado hace unos meses), lo di por sentado y me concentré en la curvatura de Berry en mi pregunta. Gracias.
Tengo un par de preguntas. Primero, las ecuaciones (1) y (2) dan dos transformaciones diferentes. ¿Cuál es la transformación de paridad (o inversión espacial)? Estoy un poco confundido con este punto. Además, al dar la ecuación de movimiento semiclásica, dices que bajo inversión espacial, v norte , k y mi cambio de signo (todos sus componentes). Sin embargo, esto ciertamente no concuerda con las transformaciones (1) y (2).
Reescribí algunas secciones para aclarar esto.
Está mucho más claro ahora. Tengo una pregunta más si te parece bien: todo el mundo dice que la simetría de inversión espacial en 2D significa que H ( k 1 , k 2 ) = H ( k 1 , − k 2 ) . Parece que esto es compatible solo con (1) en lugar de (2). Pero, entonces todo el mundo dice que bajo la simetría de inversión espacial, Ω → norte ( k 1 , k 2 ) = Ω → norte ( − k 1 , − k 2 ) . ¿Cómo es compatible la primera condición (para el hamiltoniano) con la segunda condición (para la curvatura de Berry)? [Tenga en cuenta que una referencia para esto es el artículo de revisión de 2018 de Shankar sobre aisladores topológicos]
¡Revisé el artículo de Shankar y creo que en realidad no se está refiriendo a la prescripción (1) como simetría de inversión! Más bien, en el caso del grafeno, afirma que se trata de una "simetría bajo reflexión con respecto a la línea horizontal que biseca el enlace que une los sitios A y B de una celda unitaria". Haré un dibujo simple para demostrar lo que sucede.
En realidad, tu foto de perfil actual también es un ejemplo :)
Restricciones de simetría de inversión a la curvatura de Berry en 2D
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