La contribución de un bucle a un producto ordenado en el tiempo de corrientes conservadas

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$$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \langle V^{\mu,a}(x) V^{\nu,b}(0) \rangle = \langle : {\bar \psi}(x) \gamma^\mu M^a \psi(x) : : {\bar \psi}(0) \gamma^\nu M^b \psi(0) : \rangle$$ Varias estructuras de esta cantidad se pueden calcular directamente. En primer lugar, estudiemos la estructura del índice. En primer lugar, debido a la invariancia traslacional tenemos $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ba}(-x)$.

Primero mostraremos que$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) \propto Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Para ver esto, escribamos la estructura del índice explícitamente

$$\Pi^{\mu\nu,ab} = \gamma_{ij}^\mu \gamma_{i'j'}^\nu M_{rs}^a M_{r's'}^b \langle : {\bar \psi}_{i,r}(x) \psi_{j,s}(x) : : {\bar \psi}_{i',r'}(0) \psi_{j',s'}(0) : \rangle$$ La cantidad en la función de correlación es proporcional a $\delta_{rs'}\delta_{r's}$, desde ${\bar \psi}$contratos con $\psi$. Por lo tanto, la cantidad total es proporcional a $M^a_{rs} M^b_{r's'} \delta_{rs'} \delta_{r's} = Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Así, tenemos $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ab}(-x)$.

Luego, esta cantidad tiene índices de Lorentz$\mu\nu$. Las únicas cantidades de Lorentz en el juego aquí son$g^{\mu\nu}$y$x^\mu$,$x^\nu$. El único tensor que se puede construir es

$$A(x^2) g^{\mu\nu} + B(x^2) x^\mu x^\nu$$ A continuación, podemos estudiar la cantidad bajo escala de $x$. Recuerda que en el $d=2$teoría libre, $\psi$tiene dimensión de masa $\frac{1}{2}$. Así, si $x^\mu \to \lambda x^\mu \implies \psi \to \lambda^{1/2} \psi$. Así, debemos tener $$\Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x) = \lambda^{-2} \Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x)$$ De este modo, $$A(x^2) \propto \frac{1}{x^2},~~~B(x^2) \propto \frac{1}{x^4}$$ Poniendo todo esto junto, encontramos la estructura $$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} + B x^\mu x^\nu \right)$$ Finalmente, podemos arreglar $B$, al exigir que desde $V^{\mu,a}$es una corriente conservada, debemos tener $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) =0,~~~\text{if}~~~ x \neq 0$$ Un cálculo rápido da $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = - A \delta^{ab} \left( B+2 \right) \frac{x^\nu}{(x^2)^2} \implies B = - 2$$ Poniendo todo esto junto $$\boxed{ \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} - 2 x^\mu x^\nu \right) }$$ Esto es todo lo que podemos decir acerca de esta cantidad sin calcular explícitamente los diagramas. El constante $A$puede determinarse solo calculando los diagramas de Feynman relevantes.