La aparición del volumen VVV en la representación en serie de Fourier de un sistema cúbico periódico

Question

La aparición del volumen VVV en la representación en serie de Fourier de un sistema cúbico periódico

volumen
Física
potencial
electrostática
Transformada de Fourier
condiciones de borde

Andrés

En el libro de texto Comprensión de la simulación molecular de Frenkel y Smit (segunda edición) , los autores representan una función $f(\textbf{r})$ (que depende de las coordenadas de un sistema periódico) como una serie de Fourier. Cito de la página 295 del texto:

Consideremos un sistema periódico con una caja cúbica de longitud $L$ y volumen $V$ . Cualquier función $f(\textbf{r})$ que depende de las coordenadas de nuestro sistema se puede representar mediante una serie de Fourier:

$F (r) = \frac{1}{V} \sum_{ℓ = - \infty}^{\infty} \tilde{F} (k) {mi}^{i k \cdot r} (12.1.6)$ $f(\textbf{r}) = \frac{1}{V} \sum_{\boldsymbol{\ell} = -\infty}^{\infty} \tilde{f}(\textbf{k}) e^{i \textbf{k} \cdot \textbf{r}} \; \; \; \; \textbf{(12.1.6)}$

dónde $\textbf{k} = \frac{2\pi}{L}\boldsymbol{\ell}$ con $\boldsymbol{\ell} = (\ell_x, \ell_y, \ell_z)$ son los vectores de red en el espacio de Fourier. Los coeficientes de Fourier $\tilde{f}(\textbf{k})$ se calculan utilizando

$\tilde{F} (k) = \int_{V} d r F (r) {mi}^{- i k \cdot r} (12.1.7)$ $\tilde{f}(\textbf{k}) = \int_V d\textbf{r} \; f(\textbf{r}) e^{-i\textbf{k} \cdot \textbf{r}} \; \; \; \; \textbf{(12.1.7)}$

Ahora, los autores usan la ecuación (12.1.6) para escribir el potencial eléctrico $\phi(\textbf{r})$ en el espacio de Fourier:

ϕ (r) = \frac{1}{V} \sum_{k} \tilde{ϕ} (k) {mi}^{i k \cdot r}

$\phi(\textbf{r}) = \frac{1}{V} \sum_{\textbf{k}} \tilde{\phi}(\textbf{k}) e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}}$

Los autores escriben:

En el espacio de Fourier, la ecuación de Poisson tiene una forma mucho más simple. Podemos escribir para la ecuación de Poisson:

$- \nabla^{2} ϕ (r) = - \nabla^{2} (\frac{1}{V} \sum_{k} \tilde{ϕ} (k) {mi}^{i k \cdot r}) = \frac{1}{V} \sum_{k} k^{2} \tilde{ϕ} (k) {mi}^{i k \cdot r} (12.1.8)$ $-\nabla^2 \phi(\textbf{r}) = -\nabla^2 \left( \frac{1}{V} \sum_{\textbf{k}} \tilde{\phi}(\textbf{k}) e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}} \right) = \frac{1}{V} \sum_{\textbf{k}} k^2 \tilde{\phi}(\textbf{k}) e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}} \; \; \; \; \textbf{(12.1.8)}$

Mi pregunta es, ¿por qué es el $\frac{1}{V}$ factor presente en las ecuaciones (12.1.6) y (12.1.8) ? ¿Cuál es el significado de la $\frac{1}{V}$ tener en cuenta $\phi(\textbf{r}) = \frac{1}{V} \sum_{\textbf{k}} \tilde{\phi}(\textbf{k}) e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}}$ ?

En cambio, el artículo de Wikipedia no incluye este prefactor. Me doy cuenta de que ese artículo trata del caso general, mientras que aquí estamos considerando un sistema con una caja cúbica de volumen $V$ . Pero, ¿no deberían las unidades de $\phi(\textbf{r})$ ser los mismos que los de $\tilde{\phi}(\textbf{k})$ ? El $\frac{1}{V}$ parece impedir $\phi(\textbf{r})$ y $\tilde{\phi}(\textbf{k})$ teniendo las mismas unidades.

¿Tienes algún consejo? Gracias.

Respuestas (2)

La aparición del volumen VVV en la representación en serie de Fourier de un sistema cúbico periódico

qmecanico · Answer 1

I) Solo consideremos $1$ dimensión por simplicidad. (La generalización a dimensiones superiores es sencilla). Entonces el factor de volumen $V$ es solo un factor de longitud $L$ .

II) Las fórmulas estándar de la serie de Fourier se pueden derivar de $(12.1.7)$ y $(12.1.6)$ tomando la longitud $L$ ser $L=2\pi$ . Entonces $(12.1.7)$ y $(12.1.6)$ convertirse en las fórmulas estándar de la serie de Fourier

\begin{matrix} (12.1.7') & C_{norte} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d X F (X) {mi}^{- i norte X}, \end{matrix}

$\tag{12.1.7'} c_{n} ~=~ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! dx~ f(x) e^{-in x},$

\begin{matrix} (12.1.6') & F (X) = \sum_{norte \in Z} C_{norte} {mi}^{i norte X} = F (X + 2 π), \end{matrix}

$\tag{12.1.6'} f(x)~=~\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n~e^{in x} ~=~f(x+2\pi),$

a través de las identificaciones

ℓ = norte \in Z, \tilde{F} (ℓ) = 2 π C_{norte} .

$\ell~=~ n~\in~\mathbb{Z}, \qquad \tilde{f}(\ell) ~=~2\pi c_{n} .$

III) Volviendo a $3$ dimensiones, la $1/V$ normalización en $(12.1.6)$ es importante. Por supuesto, en otra convención, se podría poner en $(12.1.7)$ en su lugar, o alternativamente, simétricamente como $1/\sqrt{V}$ en ambas fórmulas $(12.1.6)$ y $(12.1.7)$ .

Gracias. Pero, dada la $1/V$ normalización, ¿cuáles son las unidades de $\tilde{\phi}(\textbf{k})$ con respecto a los de $\phi(\textbf{r})$ en la ecuacion $ϕ (r) = \frac{1}{V} \sum_{k} \tilde{ϕ} (k) {mi}^{i k \cdot r}$ $\phi(\textbf{r}) = \frac{1}{V} \sum_{\textbf{k}} \tilde{\phi}(\textbf{k}) e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}}$ ?
$[\tilde{f}]= [V] [f]= [L]^3 [f]$ , cf. ec. $(12.1.7)$ , o ec. $(12.1.6)$ .

leonbloy · Answer 2

La fórmula habitual de la serie de Fourier establece que una función $g(x)$ con punto $2\pi$ se puede expresar como

gramo (X) = \sum_{k \in Z} C_{k} {mi}^{i k X}

$g(x) = \sum_{k\in {\mathbb Z}} c_k \, e^{ikx}$

dónde $c_n$ (los coeficientes de la serie de Fourier) vienen dados por

C_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} gramo (X) {mi}^{- i X k} d X

$c_k = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} g(x) \, e^{-i x \, k}dx$

si tenemos $f(x)$ con punto $L$ , podemos relacionarnos con lo anterior por $f(x) = g(2 \pi x/L)$ , por lo que obtenemos las fórmulas equivalentes:

F (X) = \sum_{k \in Z} C_{k} {mi}^{i k X}

$f(x) = \sum_{k\in {\mathbb Z}} c_k \, e^{i k x}$

C_{k} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} F (X) {mi}^{- i X k} d X

$c_k = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \, e^{-i x \, k}dx$

Uno puede, alternativamente, mover el factor de normalización $1/L$ a la primera ecuación. Es solo una cuestión de convención.

La extensión a 3 dimensiones es sencilla.

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Andrés

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