¿Por qué el potencial eléctrico se aproxima a cero en el infinito? Condiciones de contorno para láminas conductoras infinitas

Imagine un "canal" conductor infinitamente largo, como se muestra en la figura. Los dos lados están conectados a tierra y la tira inferior se mantiene al potencial$V_0$. Supongamos que queremos saber el potencial eléctrico en todas partes entre las placas. El potencial eléctrico es una solución a la ecuación de Laplace, que también satisface las condiciones de contorno requeridas. Las condiciones de contorno son$V(x,y,z) = 0$en las placas izquierda y derecha,$V(x,y,z)=V_0$en la placa inferior y$V(x,y,z)\to 0$en$\infty$.

Mi pregunta es sobre esta última condición de contorno. Por un lado parece razonable, y lo he estado usando durante años. Sin embargo, recientemente me preguntaron por qué$V$va a cero en el infinito, y no pude responder la pregunta satisfactoriamente. El problema es que la placa inferior parece una línea infinita de carga cuando estamos lejos de ella, pero sabemos que hay problemas con la configuración.$V=0$en el infinito cuando estamos tratando con distribuciones de carga infinitas. En el caso de una línea de carga,$E\propto 1/r$dónde$r$es la distancia desde la línea de carga. si integramos$E$de$\infty$a algunos finitos$r=a$, encontramos$V(a)=\infty$. (Es decir$V = -\int_\infty^a E dr$significa nuestro cálculo de$V$implica algo con$\ln(\infty) - \ln(a)$, que es infinito.) Con esto en mente, en el caso de la placa conductora en la figura, parece que si establecemos$V=V_0$en la placa inferior, entonces$V$debería disminuir para siempre a medida que nos alejamos. Eso podría llevar a uno a decir que$V\to -\infty$a medida que nos alejamos infinitamente de la placa inferior.

Entonces, ¿por qué $V\to 0$a medida que nos alejamos infinitamente de la placa inferior? Si tuviéramos una línea de carga infinita, el potencial disminuiría sin límite a medida que nos alejáramos de la línea de carga. La diferencia en el caso de las láminas conductoras debe estar relacionada con los lados que se ponen a tierra (por lo tanto, se mantienen en$V=0$)?