Renormalización de masas: series geométricas de diagramas irreducibles de una partícula

Question

Renormalización de masas: series geométricas de diagramas irreducibles de una partícula

Física
regularización
renormalización
no perturbativo
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos

JLA

Prácticamente en todas partes donde miro se afirma que la función de Green completa de dos puntos (digamos para el campo de Klein-Gordon) es una serie geométrica en los diagramas irreducibles de una partícula, es decir. en el espacio de momento,

GRAMO (k) = {GRAMO}_{0} (k) + {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + \dots

$G(k) = G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k) + \dots$

= {GRAMO}_{0} (k) (1 + Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + \dots)

$= G_0(k)\big(1+\Sigma(k)G_0(k)+\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+\dots\big)$

y que la suma de esto es, usando la fórmula de la serie geométrica,

GRAMO (k) = \frac{{GRAMO}_{0} (k)}{1 - Σ (k) {GRAMO}_{0} (k)} = \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2} - Σ (k) - i ϵ}

$G(k)=\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m^2-\Sigma(k)-i\epsilon}$

(por ejemplo, en la primera página en la esquina superior derecha de aquí , o en la parte inferior/superior de las páginas 56/57 aquí ).

Sin embargo, ¿cuál es la justificación para sumar esta serie geométrica de esa manera? Nunca parece estar justificado y no parece que $|\Sigma(k)G_0(k)|<1\,.$ Incluso si renormalizo la masa $m$ de modo que $m_R^2 := m^2-\Sigma(k)$ es finito, si la suma de la serie geométrica no está justificada, los infinitos no se cancelarán y todo seguirá divergiendo. ¿Hay una reanudación implícita? ¿Este paso es completamente no perturbativo?

$\mathbf{Edit\;1}$ : Básicamente como yo lo veo, la situación es esta: pregunto cuál es la amplitud para el propagador (en el espacio de momento), y usted dice

\frac{{GRAMO}_{0} (k)}{1 - Σ (k) {GRAMO}_{0} (k)} = \frac{1}{k^{2} + {metro}_{R}^{2} - i ϵ}

$\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m_R^2-i\epsilon}$ dónde

m_{R}^{2} = m^{2} - Σ (k)

$m_R^2=m^2-\Sigma(k)$ es la masa (finita). Luego me doy cuenta de que puedes calcularlo aproximadamente usando la serie de perturbaciones dada por la teoría, que es

{GRAMO}_{0} (k) (1 + Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + \dots) .

$G_0(k)\big(1+\Sigma(k)G_0(k)+\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+\dots\big)\,.$ Sin embargo noto que

Σ (k) G_{0} (k) > 1

$\Sigma(k)G_0(k)>1$ y se que por

x > 1

$x>1$ la serie de perturbaciones dada por

1 + X + X^{2} + \dots

$1+x+x^2+\cdots$ no es una buena aproximación a

\frac{1}{1 - x},

$\frac{1}{1-x}\,,$ en cualquier orden de la serie de perturbaciones. Entonces parecería que la teoría de la perturbación falla porque no da una buena aproximación, en ningún orden, para el propagador. Entonces, pregunto, ¿cuál es la justificación de todo esto en primer lugar? ¿Están básicamente viendo que la serie de perturbaciones para el propagador es la misma que la serie de perturbaciones para

\frac{1}{1 - x},

$\frac{1}{1-x}\,,$ pero al darme cuenta de eso

| x | > 1

$|x|>1$ y luego suponiendo que el propagador real debe ser

\frac{1}{1 - x} ?

$\frac{1}{1-x}\,?$ Porque esto parecería ser un paso completamente no perturbador.

$\mathbf{Edit\;2}$ : Voy a hacer el cálculo real que me está confundiendo, y si alguien puede señalar dónde está mal (si lo está), sería de gran ayuda. Por cierto, anteriormente hice una rotación de Wick, pero no voy a hacerlo esta vez:

tenemos eso

\frac{{GRAMO}_{0} (k)}{1 - Σ (k) {GRAMO}_{0} (k)} = \frac{1}{k^{2} - {metro}_{R}^{2}}

$\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(K)}=\frac{1}{k^2-m_R^2}$

dónde $m_R$ es la masa física (y finita), y donde $G_0(k)=\frac{1}{k^2-m^2}$ dónde $m$ es la masa desnuda dependiente del corte. Reorganizando, obtengo

Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) = 1 - {GRAMO}_{0} (k) (k^{2} - {metro}_{R}^{2}) = 1 - \frac{k^{2} - {metro}_{R}^{2}}{k^{2} - {metro}^{2}} .

$\Sigma(k)G_0(k)=1-G_0(k)(k^2-m_R^2)=1-\frac{k^2-m_R^2}{k^2-m^2}\,.$ Veamos la región donde

m_{R}^{2} < k^{2} < m^{2} .

$m_R^2<k^2<m^2\,.$

m^{2} \to \infty

$m^2\to\infty$ a medida que se elimina el corte, esta es una región muy grande. Ahora me parece que en la expresión anterior para

Σ (k) G_{0} (k),

$\Sigma(k)G_0(k)\,,$ que el lado derecho SIEMPRE es mayor que uno, e incluso posiblemente cerca del infinito para ciertos valores de

k

$k$ (o tal vez no obtiene valores cercanos al infinito porque

k

$k$ debe restringirse a valores por debajo del límite, pero esto no es realmente importante). Esto parecería hacer sospechosa toda la suma geométrica. ¿Hay un error?

Si tengo un malentendido básico de cómo funciona esto, me gustaría saber, este es el caso más básico de renormalización en QFT, pero no lo entiendo.

Profesor Legolasov

Estas cosas casi nunca se justifican en la literatura. Supongo que la mejor justificación a-posteriori es que simplemente funciona: QFT perturbativo da resultados sensibles en el

n

$n$ -nivel de bucle, pero espero que alguien responda esta pregunta para dar una mejor.

DelCrosB

A los físicos teóricos les encanta hablar de expansión asintótica en estos casos. Pero también espero que alguien en el campo responda con más detalles y aclare el tema.

ved

No estoy seguro de que sepa que los dos propagadores

\frac{1}{k^{2} + m^{2}}

$\frac{1}{k^2+m^2}$ y

\frac{1}{k^{2} - m^{2}}

$\frac{1}{k^2-m^2}$ no son partes rotadas de mecha, sino que en realidad son propagadores en dos convenciones métricas diferentes utilizadas en la literatura. Se escriben de tal manera que

k_{0}

$k_0$ tiene postes

\sqrt{| k |^{2} + m^{2}}

$\sqrt {|k|^2+m^2}$ en el eje real. El problema que está describiendo es solo el resultado del análisis fallido que ha realizado y también aparecería con

\frac{1}{k^{2} + m^{2}}

$\frac{1}{k^2+m^2}$ . Abordaré esto en más comentarios.

ved

El uso de dos convenciones métricas diferentes no va a cambiar ninguna física y, como tal

Σ (k)

$\Sigma(k)$ tendrá el mismo comportamiento. En el primer caso, tenías

m_{R}^{2} = m^{2} - Σ (k)

$m_R^2=m^2-\Sigma(k)$ como la masa física, como resultado, la masa desnuda tiene que ir a

+ \infty

$+\infty$ para cancelar el

+ \infty

$+\infty$ procedente de

Σ (k)

$\Sigma(k)$ para obtener un resultado finito. En el segundo caso, la masa desnuda tiene que ir a

- \infty

$-\infty$ para cancelar el

+ \infty

$+\infty$ procedente de

Σ (k)

$\Sigma(k)$ en

- (m^{2} + Σ (k))

$-(m^2+\Sigma(k))$ ya que cambiar la convención métrica no cambiará

Σ (k)

$\Sigma(k)$ comportamiento.

ved

Esto llevaría básicamente a

m_{R}^{2} < k^{2} < - \infty

$m_R^2<k^2<-\infty$ , que no tiene sentido y es posible que desee revertirlo para

- \infty < k^{2} < m_{R}^{2}

$-\infty<k^2<m_R^2$ . Si

k^{2}

$k^2$ es siempre que la masa física, entonces nunca aparecería como un polo en el propagador y nunca podrá generar masa física mediante la corrección radiativa como resultado, todo su cálculo es en vano y es por eso que estaba tratando k en el límite de alta energía en la respuesta

ved

Advertencia: si está tratando de probar algo incorrecto que se hace en todos los libros, debe tener en cuenta que en algún momento debe estar cometiendo algunos errores e incluso si algunas personas aquí y allá le dicen que no está justificado, debe estar justificado. El mismo problema está en el otro propagador si consideras

k^{2} < - m_{R}^{2}

$k^2<-m_R^2$ . Buena suerte.

qmecanico

Comentario menor a la publicación (v12): considere mencionar explícitamente el autor, el título, etc. de los enlaces, para que sea posible reconstruir el enlace en caso de que se rompa.

Respuestas (4)

Renormalización de masas: series geométricas de diagramas irreducibles de una partícula

Estas cosas casi nunca se justifican en la literatura. Supongo que la mejor justificación a-posteriori es que simplemente funciona: QFT perturbativo da resultados sensibles en el $n$ -nivel de bucle, pero espero que alguien responda esta pregunta para dar una mejor.
A los físicos teóricos les encanta hablar de expansión asintótica en estos casos. Pero también espero que alguien en el campo responda con más detalles y aclare el tema.
No estoy seguro de que sepa que los dos propagadores $\frac{1}{k^2+m^2}$ y $\frac{1}{k^2-m^2}$ no son partes rotadas de mecha, sino que en realidad son propagadores en dos convenciones métricas diferentes utilizadas en la literatura. Se escriben de tal manera que $k_0$ tiene postes $\sqrt {|k|^2+m^2}$ en el eje real. El problema que está describiendo es solo el resultado del análisis fallido que ha realizado y también aparecería con $\frac{1}{k^2+m^2}$ . Abordaré esto en más comentarios.
El uso de dos convenciones métricas diferentes no va a cambiar ninguna física y, como tal $\Sigma(k)$ tendrá el mismo comportamiento. En el primer caso, tenías $m_R^2=m^2-\Sigma(k)$ como la masa física, como resultado, la masa desnuda tiene que ir a $+\infty$ para cancelar el $+\infty$ procedente de $\Sigma(k)$ para obtener un resultado finito. En el segundo caso, la masa desnuda tiene que ir a $-\infty$ para cancelar el $+\infty$ procedente de $\Sigma(k)$ en $-(m^2+\Sigma(k))$ ya que cambiar la convención métrica no cambiará $\Sigma(k)$ comportamiento.
Esto llevaría básicamente a $m_R^2<k^2<-\infty$ , que no tiene sentido y es posible que desee revertirlo para $-\infty<k^2<m_R^2$ . Si $k^2$ es siempre que la masa física, entonces nunca aparecería como un polo en el propagador y nunca podrá generar masa física mediante la corrección radiativa como resultado, todo su cálculo es en vano y es por eso que estaba tratando k en el límite de alta energía en la respuesta
Advertencia: si está tratando de probar algo incorrecto que se hace en todos los libros, debe tener en cuenta que en algún momento debe estar cometiendo algunos errores e incluso si algunas personas aquí y allá le dicen que no está justificado, debe estar justificado. El mismo problema está en el otro propagador si consideras $k^2<-m_R^2$ . Buena suerte.
Comentario menor a la publicación (v12): considere mencionar explícitamente el autor, el título, etc. de los enlaces, para que sea posible reconstruir el enlace en caso de que se rompa.

Mad Max · Answer 1

Estás haciendo una pregunta legítima. Podemos darle la vuelta a toda la situación. En lugar de comenzar con la serie geométrica

GRAMO (k) = {GRAMO}_{0} (k) + {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) Σ (k) {GRAMO}_{0} (k) + \dots, (1)

$\begin{equation} G(k) = G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k) + \dots, \quad (1) \end{equation}$ y llegando a

GRAMO (k) = \frac{{GRAMO}_{0} (k)}{1 - Σ (k) {GRAMO}_{0} (k)} = \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2} - Σ (k) - i ϵ}, (2)

$G(k)=\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m^2-\Sigma(k)-i\epsilon} ,\quad (2)$ podemos ir al revés. En su lugar, afirmaremos que la ec. (2) es válida y llama a la dudosa expansión de la ec. (1) en cuestión, y con razón (OP ha señalado la locura de asumir

| Σ (k) G_{0} (k) | < 1

$|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ ).

Si hace su tarea hurgando en la literatura de QFT, descubrirá muchas formas no perturbativas de derivar la ecuación. (2) sin recurrir a la ec. (1). El QFT perturbativo de la vieja escuela tiene sentido intuitivo, pero es un choque de trenes matemático.

¿Puede dar una referencia para un libro que derive esto de una manera no perturbativa?
@Suriya, pruebe cualquier libro que detalle la ecuación de Schwinger-Dyson y su solución aproximada de primer orden.

yossarian · Answer 2

yossarian

Las expansiones perturbativas suelen ser divergentes en la teoría de campos, por lo que me atrevería a decir que la reanudación completa de los diagramas irreducibles de 1 partícula es en realidad divergente.

Pero esto no es un problema si solo quieres volver a normalizar. Tenga en cuenta que, en la práctica, siempre vuelve a normalizar en un orden finito en su parámetro de expansión, por lo que realmente no hay necesidad de preocuparse por la reanudación infinita. La suma de la serie geométrica truncada está bien definida, por lo que para volver a normalizar, defina los contratérminos de modo que su propagador sea finito en el orden en que realiza sus cálculos.

Profesor Legolasov

La pregunta de OP fue: ¿cómo se puede tomar la suma de la serie geométrica completa (que diverge, por lo que la expresión de la suma no es correcta) justificada en cálculos reales? No tengo dudas de que lo que escribiste es cierto, pero no responde la pregunta de OP.

yossarian

@SolenodonParadoxus Lo respondí en el sentido de que dije que la serie completa es (muy probablemente) divergente, por lo que no está justificado hacerlo. ¿Cuándo ha visto la reanudación de la serie geométrica de todos los diagramas 1PI en un cálculo real?

JLA

@AnarchistBirdsWorshipFungus ¿Estás sugiriendo que si configuro

m^{2} = m_{R}^{2} + Σ (k)

$m^2 = m_R^2+\Sigma(k)$ para algunos fijos

m_{R},

$m_R\,,$ entonces la serie de perturbaciones, en algún orden, es una buena aproximación a

\frac{1}{k^{2} + m_{R}^{2} - i ϵ}

$\frac{1}{k^2+m_R^2-i\epsilon}$ ? Porque no parece ser y si no como se justifica la sumatoria?

yossarian

JLA, ¿es consciente de que incluso después de la renormalización, cuando obtiene contribuciones finitas en cada orden en la teoría de la perturbación, e incluso cuando está considerando el acoplamiento mucho más pequeño que uno, el radio de convergencia de las expansiones perturbativas es cero? esta es la clave de mi punto. Se cree que la suma total de la expansión perturbativa es divergente. Consulte esto physics.stackexchange.com/q/70411 . Por lo tanto, lo más probable es que nunca sea legítimo sumar todos los diagramas, así que no te preocupes por hacerlo.

yossarian

El lleno

Σ

$\Sigma$ después de sumar todos los diagramas, incluso agregar todos los contratérminos es (lo más probable) divergente.

ved · Answer 3

Su malentendido básico es que $|\Sigma(k)G_0(k)|>1$ , lo cual no es cierto y básicamente se utilizan tres principios al menos para asegurarse de que $|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ . El primero es muy básico, que es la renormalizabilidad de la teoría y el segundo es la naturaleza local de los contratérminos. No se necesita un tercer ingrediente, excepto en el caso de partículas escalares, lo que se denomina "naturalidad" en el modelo estándar.

El término de corrección de masa $\Sigma(k)$ es una suma de infinitos gráficos que contribuyen a la energía propia de la partícula que, en general, tendrá una divergencia lineal (como la energía propia del electrón) o una divergencia cuadrática (como la energía propia del fotón) en el límite de alta energía. En el caso de partículas que no sean de espín cero, se pueden usar diferentes esquemas de regularización para hacer que este comportamiento solo sea logarítmicamente divergente y una redefinición del parámetro de masa (renormalización) absorba esta divergencia.

Esto básicamente te dice que $\Sigma(k)$ se comporta como $ln(k/m)$ con k se puede reemplazar por una escala $\Lambda$ y tendrás $|\Sigma(k)G_0(k)|$ comportamiento como $ln(k)/k^2$ como

{GRAMO}_{0} (k) = \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2}}

$G_0(k)=\frac{1}{k^2+m^2}$

Ahora $ln(k)/k^2$ es siempre menor que $1$ (como $ln(k)-k^2$ siempre es negativo).

Sin embargo, en el caso de partículas escalares, tiene $\Sigma(k)$ comportándose tan mal como cuadráticamente divergente (no hay suficientes simetrías en la teoría), para lo cual necesita tener mucha cancelación que involucre $\Lambda^2$ término para suavizar las integrales resultantes para que no diverjan tanto como las cuadráticas. Sin embargo, no hay razón para esperar que tales cancelaciones ocurran "naturalmente", como resultado, debe ajustar la teoría para obtener una cancelación adecuada en la que pueda tener $m^2_{physical}<<\Lambda$ . Como consecuencia de estas cancelaciones, tendrá un comportamiento de ablandamiento de $\Sigma(k)$ que no divergirá tanto como $\Lambda^2$ y tendrás $|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ según sea necesario.

Sin embargo, el problema de ajuste fino no es una solución física y, por lo tanto, debe complementarse con una simetría adicional de la teoría. Un caso de los cuales es la supersimetría que proporciona el comportamiento de simetría del supercompañero de espín 1/2 para hacer que la divergencia sea logarítmica, pero esa es otra cuestión.

Espero que esto explique todas sus preocupaciones y trate de obtener un buen libro qft como el qft de Srednicki.

Además de los problemas relacionados con el dominio, tenga en cuenta que la derecha de su primera ecuación es un operador bien definido precisamente si la serie geométrica con $Q=BA^{-1}$ converge (Tomar, por ejemplo, $A=1$ , $B=2$ ).
@ved Agradezco su respuesta, ¿puede ver mi edición de mi pregunta? Ojalá quede más claro ahora.
@JLA Eliminé las porciones innecesarias y lo dejé lo más claro posible.
@ved Gracias por tu respuesta. ¿Puedes ver el "Editar 2" en mi publicación? Lo escribí en gran parte en respuesta a tu publicación.

Vladímir Kalitvianski · Answer 4

Puede considerar esto como una suma selectiva de diagramas y una definición de series eventualmente divergentes como una función finita. Ya en los primeros tiempos de Euler se sabía cómo sumar tales series cuando el parámetro de expansión formal no es realmente pequeño. Lea el libro de Hardy sobre este tema.

El verdadero problema no está aquí. En Electrodinámica Clásica se puede calcular exactamente la reacción inversa, y elas, es una adición divergente a la masa de la partícula. Esto se debe a que la reacción inversa (autoacción) es principalmente una autoinducción de una carga puntual. Ninguna fuerza externa puede acelerar una carga debido a esta autoinducción infinita. Tenga en cuenta que la idea de la acción propia es un ansatz, no algo incuestionable. Por eso tenemos que descartar las correcciones de masa en prácticamente cualquier teoría: incluso finitas, son innecesarias porque teníamos la masa observada en las ecuaciones originales. Así, descarte (renormalización masiva).

Además, el propagador de electrones no es invariante de calibre.

Peor aún, en QED siempre hay una probabilidad prácticamente unitaria de emitir fotones suaves porque el electrón está permanentemente acoplado a los osciladores de fotones. Tu ejercicio no lo tiene en cuenta; en QED se tiene en cuenta más adelante. Un electrón es en realidad una infrapartícula (búsquelo en Google).

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