Anomalías consistentes y covariantes para el caso abeliano

Creo que la fuente de confusión es que en las teorías de calibre no abelianas, se define la anomalía consistente como obedeciendo la condición de consistencia de Wess-Zumino y la anomalía covariante como covariante de calibre. Podemos ver a partir de sus ecuaciones que en el caso abeliano ambas formas obedecen a estas dos condiciones, por lo que no es una definición viable [editar: aunque la anomalía es covariante, la corriente para la anomalía consistente no lo es - vea los comentarios a esto respuesta]. Sin embargo, existen otras propiedades que pueden distinguir las dos formas incluso en las teorías abelianas. Algunos de estos son:

Como dijiste, la anomalía consistente corresponde a la variación de la acción efectiva obtenida al integrar los campos fermiónicos, es decir, si

$$e^{iW[A]}=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi}e^{iS[A,\psi,\bar{\psi}]},$$ bajo una transformación de norma tendremos $\delta W=G$, dónde $\partial_\mu J^\mu=G$es la forma consistente de la anomalía. No hay manera de obtener una acción efectiva en términos de $A$cuya variación es la forma covariante de la anomalía, aunque se puede modificar la corriente para que su divergencia sea en forma covariante.

Una forma de entender el factor de 1/3 es que proviene de la simetrización de los vértices de Bose. Esto podría ser lo que quiere decir cuando habla de obtenerlo mediante el "pensamiento formal". Por lo general, la forma covariante aparece para las corrientes de simetría global en una teoría de calibre, donde$J$es la corriente para una simetría distinta de la que se está midiendo. En este caso, no hay simetrización entre los vértices del diagrama triangular. Cuando$J$es la corriente para la simetría$A$es calibre, el etiquetado de las líneas fermiónicas internas debe ser simétrico entre las líneas externas, dando un resultado que es tres veces menor. Véase la discusión en Weinberg sobre la ecuación (22.3.38), que se aplica tanto a las teorías abelianas como a las no abelianas.

Otra forma en la que aparece la forma covariante, una vez más para anomalías quirales globales (es decir, independientes del espacio-tiempo), es como la variación de la acción efectiva cuántica. Bajo una transformación global quiral de$\psi$, la acción eficaz$W$como se definió anteriormente es invariante. Sin embargo podemos calcular la acción efectiva con fuentes,

$$e^{iW[A,\chi,\bar{\chi}]}=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi}e^{iS[A,\psi,\bar{\psi}]+\int (\chi\psi+\bar{\psi}\bar{\chi})},$$ y luego Legendre se transforma de $W$a la acción efectiva cuántica de los fermiones (ver, por ejemplo, Srednicki cap. 21), $\Gamma[A,\psi,\bar{\psi}]$. Bajo una transformación quiral, $\delta\Gamma$será la anomalía covariante anterior. Una buena fuente aquí es la sección 3.6 de https://arxiv.org/abs/0802.0634 .