Tengamos la acción
S= ∫(∂mhμ σ∂vhvσ− Λhμ νTμ ν)d4x _
Por definición,
hμ ν=hvm,Tμ ν=Tvm≠ f(hμ ν) ,hμ ν=ημ αηvβhα β,ημ ν= reyo un g( 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) .
Tomemos la variación de
S
por
hμ ν
y establecer los términos de la superficie a cero:
dS= ∫∂mdhμ σ∂vhvσd4X + ∫∂mhμ σ∂vdhvσd4x − Λ ∫dhμ νTμ νd4x =
= − ∫(∂m∂vhvσdhμ σ+∂m∂vhμ σdhvσ− Λ δhμ σTμ σ)d4x _
Entonces es hora de mi pregunta estúpida. Las expresiones debajo de la integral son de forma escalar y podemos cambiar el nombre de los índices. Pero cuando sacamos la variación
dhμ σ
, todo ha cambiado. Puedo hacerlo de las dos "maneras":
dS= ∫dhμ σ(∂m∂vhvσ+∂α∂mhα σ− ΛTμ σ)d4x = ∫dhμ σ( 2∂m∂vhvσ− ΛTμ σ)d4X( 1 )
y
dS= ∫dhμ σ(∂m∂vhvσ+∂α∂σhα μ− ΛTμ σ)d4x _( 2 )
Poniendo la variación a cero obtengo diferentes ecuaciones de movimiento
( 1 ) , ( 2 )
. ¿Dónde cometí el error?
Siva
andres macaddams