problema de calculo de variaciones

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problema de calculo de variaciones

acción
Física
cálculo variacional
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Estoy tratando de variar la siguiente acción para encontrar los caminos que extremizan la acción.

S = \int_{γ} ω = \int_{t_{F}}^{t_{i}} \frac{d X^{i} (t)}{d t} ω_{i} (X (t)) d t

$S = \int_{\gamma} \omega = \int_{t_f}^{t_i} \frac{d x^i(t)}{dt} \omega_i(x(t)) \; dt$ dónde

x^{i}

$x^i$ son las coordenadas locales y

ω

$\omega$ es una forma diferencial.

hasta ahora tengo

\begin{aligned} 0 = d S & = \int_{γ} d (\frac{d X^{i} (t)}{d t} ω_{i} (X (t)) d t \\ = \int_{γ} [\frac{d d X^{i} (t)}{d t} ω_{i} (X (t)) + \frac{d X^{i} (t)}{d t} \frac{\partial ω_{i} (X (t))}{\partial X^{j}} d X^{j}] d t \end{aligned}

$\begin{align*} 0=\delta S &= \int_{\gamma} \delta\big(\frac{d x^i(t)}{dt} \omega_i(x(t)\big) \; dt\\ &= \int_{\gamma} \Big[\frac{d \delta x^i(t)}{dt} \omega_i(x(t)) + \frac{dx^i(t)}{dt} \frac{\partial \omega_i(x(t))}{\partial x^j}\delta x^j\Big] \; dt \end{align*}$ Sé que el objetivo de los problemas de variación es factorizar la variación arbitraria

δ x^{i}

$\delta x^i$ , pero me estoy atascando con la integración por partes en el primer término. ¿Cómo debo proceder para encontrar los caminos que extremicen esta acción?

Respuestas (1)

problema de calculo de variaciones

Profesor Legolasov · Answer 1

Integrando por partes:

\int_{γ} d t (\frac{d}{d t} d X^{i} \cdot ω_{i} (X)) = \int_{γ} d t \frac{d}{d t} (d X^{i} ω_{i} (X)) - \int_{γ} d t (d X^{i} \cdot \frac{d}{d t} ω_{i} (X)) =

$\intop_{\gamma} dt \left( \frac{d}{dt} \delta x^{i} \cdot \omega_{i}(x) \right) = \intop_{\gamma} dt \frac{d}{dt} \left( \delta x^{i} \omega_{i}(x) \right) - \intop_{\gamma} dt \left( \delta x^{i} \cdot \frac{d}{dt} \omega_{i}(x) \right) =$

{d X^{i} ω_{i} (X) |}_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{γ} d t d X^{j} \cdot \frac{\partial ω_{j} (X)}{\partial X^{i}} \cdot {\dot{X}}^{i},

$\left. \delta x^{i} \omega_i (x) \right|_{t_1}^{t_2} - \intop_{\gamma} dt \, \delta x^j \cdot \frac{\partial \omega_j(x)}{\partial x^{i}} \cdot \dot{x}^i,$

donde el punto significa diferenciar wrt $t$ .

El primer término es igual a cero ya que $\delta x^{i}$ se fija para que desaparezca en los puntos finales.

Confío en que puedas derivar la ecuación. de movimiento de esto.

Supongo que estoy acostumbrado a tratar con acciones con $x$ y $\dot{x}$ dependencia, pero hay una razón profunda por la que la ecuación de "Euler-Lagrange" para este caso es de la forma $\partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i$ ?
@Aaron La forma correcta sería $(\partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i) \dot{x}^{i} = 0$ . No estoy seguro de lo que califica como una "razón profunda".
@ClassicStyle No estoy de acuerdo. Sólo el retroceso de $d\omega$ en $\gamma$ debería desaparecer Esta es una condición en ambos $\omega$ y $\gamma$ . Esto no tiene nada que ver con $\omega$ estar cerrado o no.
si decimos eso $\gamma$ no es una curva cerrada entonces $d\omega=0$ ¿correcto? El retroceso es un isomorfismo del espacio cotangente en cada punto. No estoy del todo seguro, así que corrígelo si está mal :)

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