Forme un tensor métrico a partir de la energía cinética.

Parece que OP está preguntando específicamente sobre la formulación de Jacobi del principio de Maupertuis para la acción abreviada

$$A[q, E] ~:=~\int \! p_i ~dq^i, \qquad p_i~:=~\frac{\partial L}{ \partial\dot{q}^i} ,\tag{1}$$

donde solo consideramos caminos (virtuales)$q$en el espacio de posiciones generalizadas${\cal Q}$con una y la misma energía fija$E$. La energía cinética (generalizada, no relativista)

$$T~=~\frac{1}{2} M_{jk}(q) \dot{q}^j \dot{q}^k\tag{2}$$

es a menudo una función cuadrática de las velocidades generalizadas. Por lo tanto podemos construir una métrica Riemanniana

$$ds^2 ~=~M_{jk}(q) ~dq^j ~dq^k \tag{3}$$

en el espacio de posiciones generalizadas${\cal Q}$con la ayuda de la matriz de masa generalizada$M_{jk}(q)$. La acción abreviada (1) entonces toma una forma de raíz cuadrada:

$$A[q, E] ~=~\int \sqrt{2(E-V(q)}ds.\tag{4}$$

Si la energía potencial$V(q)$es una constante, entonces la raíz cuadrada en la ec. (4) se convierte en una constante y el valor mínimo de la acción abreviada se logra a través de geodésicas en el espacio de posición generalizado${\cal Q}$.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; Sección 8.6.

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976; §44.

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El intervalo de energía es

$$(mc^2)^2~=~E^2~-~(pc)^2$$ donde el lado derecho es el mismo que $$E^2~-~(pc)^2~=~m^2\left(\frac{dt}{ds}\right)^2~-~m^2\sum_{i=1}^3\left(\frac{dx_i}{ds}\right)^2~=~m^2\left(\frac{dx_\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right).$$ El tensor métrico se presenta como la "máquina" que baja y sube índices para que ahora $$1~=~g_{\mu\nu}\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\nu}{ds}\right),$$ y el elemento de línea se encuentra multiplicando por $ds^2$

La energía cinética es

$$K~=~g_{\mu\nu}\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\nu}{ds}\right).$$ También tenemos con $mc^2ds$un término que es "energía-tiempo". podemos tomar esto como la acción $$mc^2\int ds~=~\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}.$$ Es un problema típico de la clase alta de pregrado a primer año de posgrado realizar la variación de esto para encontrar la ecuación geodésica.