∑∞k=0Γ(k+α)tkk!=??∑k=0∞Γ(k+α)tkk!=??\sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\ alfa\right) \, \frac{t^k}{k!}=??

Question

∑∞k=0Γ(k+α)tkk!=??∑k=0∞Γ(k+α)tkk!=??\sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\ alfa\right) \, \frac{t^k}{k!}=??

cálculo
Matemáticas
función gamma
funciones especiales
secuencias y series

Z.Alfata

Estoy tratando de calcular:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} Γ (\frac{2 k + norte + metro - 1}{2})}{k!} X^{2 k} .

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \Gamma\left(\frac{2k+n+m-1}{2}\right)}{k!} \, x^{2k}.$

Pensé en la expresión de la serie binomial

(1 + X)^{α} = \sum_{norte = 0}^{\infty} (\binom{α}{norte}) X^{norte} (*)

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}} \qquad (*)$ dónde

(\binom{α}{norte}) = \frac{α (α - 1) \dots (α - norte + 1)}{norte!} (los coeficientes binomiales generalizados) .

${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}} \quad (\text{the generalized binomial coefficients}).$ es decir,

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} Γ (\frac{2 k + norte + metro - 1}{2})}{k!} X^{2 k} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Γ (\frac{2 k + norte + metro - 1}{2}) \frac{(- X^{2})^{k}}{k!} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} Γ (k + \frac{norte + metro - 1}{2}) \frac{(- X^{2})^{k}}{k!} . \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \Gamma\left(\frac{2k+n+m-1}{2}\right)}{k!} \, x^{2k}&= \sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(\frac{2k+n+m-1}{2}\right) \, \frac{(-x^{2})^k}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\frac{n+m-1}{2}\right) \, \frac{(-x^{2})^k}{k!}. \end{align*}$ En otras palabras:

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{\infty} Γ (k + α) \frac{t^{k}}{k!} = ? ? \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\alpha\right) \, \frac{t^k}{k!}=?? \end{align*}$ ¿Qué tengo que hacer para llegar a la expresión?

(*)

$(*)$ . Gracias

botnakov n.

Es más conveniente poner

n + m - 1 = j

$n+m-1 = j$ y

t = - x^{2}

$t=-x^2$ y trabajar con

j

$j$ y

t

$t$ .

botnakov n.

¿Responde esto a tu pregunta? Serie infinita con función gamma

Z.Alfata

@Botnakov, No. Porque tengo

Γ (k + α)

$\Gamma(k+\alpha)$ no

Γ (\frac{k}{2} + α)

$\Gamma(\frac{k}{2}+\alpha)$ .

Gary

Este puede ayudar: math.stackexchange.com/q/2132666 Mire la serie en la pregunta.

Un lector rural

Usa el hecho de que

Γ (k + α) = (α)_{k} Γ (α)

$\Gamma(k + \alpha) = (\alpha)_k \Gamma(\alpha)$ , dónde

(\cdot)_{k}

$(\,\cdot\,)_k$ es el símbolo de Pochhammer, y su suma parece

Γ (α) \sum_{0}^{\infty} (α)_{k} t^{k} / k!

$\Gamma(\alpha)\sum_0^\infty\, (\alpha)_k t^k /k!$ . Entonces echa un vistazo a la función

_{1} F_{0} (α, -, t)

${}_1F_0(\alpha, -, t)$ y su simplificación.

Maximiliano Janisch

Su suma es hipergeométrica, por lo que un enfoque idéntico a este debería proporcionar una forma cerrada para las sumas parciales.

Respuestas (1)

∑∞k=0Γ(k+α)tkk!=??∑k=0∞Γ(k+α)tkk!=??\sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\ alfa\right) \, \frac{t^k}{k!}=??

Es más conveniente poner $n+m-1 = j$ y $t=-x^2$ y trabajar con $j$ y $t$ .
¿Responde esto a tu pregunta? Serie infinita con función gamma
@Botnakov, No. Porque tengo $\Gamma(k+\alpha)$ no $\Gamma(\frac{k}{2}+\alpha)$ .
Este puede ayudar: math.stackexchange.com/q/2132666 Mire la serie en la pregunta.
Usa el hecho de que $\Gamma(k + \alpha) = (\alpha)_k \Gamma(\alpha)$ , dónde $(\,\cdot\,)_k$ es el símbolo de Pochhammer, y su suma parece $\Gamma(\alpha)\sum_0^\infty\, (\alpha)_k t^k /k!$ . Entonces echa un vistazo a la función ${}_1F_0(\alpha, -, t)$ y su simplificación.
Su suma es hipergeométrica, por lo que un enfoque idéntico a este debería proporcionar una forma cerrada para las sumas parciales.

botnakov n. · Answer 1

Suponer que $|t|<1$ . Tenemos

\begin{array}{rcl} Γ (z) = \int_{0}^{\infty} X^{z - 1} {mi}^{- X} d X ⟹ \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{Γ (norte + s)}{norte!} t^{norte} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{norte} X^{norte + s - 1} {mi}^{- X}}{norte!} d X \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Gamma(z) = \int_0 ^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \Gamma(n+s)}{n!}t^n =\sum_{n=0}^{\infty} \int_0 ^{\infty} \frac{t^n x^{n+s-1} e^{-x}}{n!} dx \end{eqnarray*}$ Ahora invierte la suma y la integral

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} X^{s - 1} \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(t X)^{norte}}{norte!} {mi}^{- X} d X = \int_{0}^{\infty} X^{s - 1} {mi}^{X (t - 1)} d X \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(tx)^{n} }{n!} e^{-x}dx =\int_0 ^{\infty} x^{s-1} e^{x(t-1)} dx \end{eqnarray*}$ Poner

u = x (1 - t)

$u = x(1-t)$ . Tenemos

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{Γ (norte + s)}{norte!} t^{norte} = \int_{0}^{\infty} \frac{{tu}^{s - 1}}{(1 - t)^{s - 1}} {mi}^{- tu} \frac{d tu}{1 - t} = \frac{1}{(1 - t)^{s}} \int_{0}^{\infty} {tu}^{s - 1} {mi}^{- tu} d tu = \frac{Γ (s)}{(1 - t)^{s}}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \Gamma(n+s)}{n!}t^n = \int_0 ^{\infty} \frac{u^{s-1}}{(1-t)^{s-1}} e^{-u} \frac{du}{1-t} = \frac{1}{(1-t)^s}\int_0^{\infty}u^{s-1}e^{-u}du = \frac{\Gamma(s)}{(1-t)^s}$

Adición: si $|t| \ge 1$ y $s \ge 1$ entonces $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \Gamma(n+s)}{n!}t^n$ diverge porque $\frac{ \Gamma(n+s)}{n!}t^n \not \to 0$ , $n \to \infty$ .

∑∞k=0Γ(k+α)tkk!=??∑k=0∞Γ(k+α)tkk!=??\sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\ alfa\right) \, \frac{t^k}{k!}=??

Z.Alfata

botnakov n.

botnakov n.

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Gary

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Maximiliano Janisch

Respuestas (1)

botnakov n.

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