Forma cerrada para una serie infinita que involucra funciones gamma incompletas inferiores

$Q(t) = \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{(at)^l(b/a)^k}{k!l!}\Big].$

Intentaré ciegamente invertir el orden de la suma y veré qué sucede.

$\begin{array}\\ S(u, v) &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{u^lv^k}{k!l!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=l}^\infty \frac{u^lv^k}{k!l!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=l}^\infty \frac{v^k}{k!}\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}(e^v-\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!})\\ &=\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}e^v-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!}\\ &=e^ue^v-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l-1} \frac{v^k}{k!}\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}(\sum_{k=0}^{l} \frac{v^k}{k!}-\frac{v^l}{l!})\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\sum_{k=0}^{l} \frac{v^k}{k!}+\sum_{l=0}^\infty\frac{u^l}{l!}\frac{v^l}{l!}\\ &=e^{u+v}-\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{l}\frac{u^l}{l!} \frac{v^k}{k!}+\sum_{l=0}^\infty\frac{(uv)^l}{l!^2}\\ &=e^{u+v}-S(v, u)+I_0(2\sqrt{uv}) \\ \end{array}$

dónde$I_0$es la función de Bessel modificada de primera clase.

Así que esto no es una evaluación, pero obtenemos la relación.

$S(u, v)+S(v, u) =e^{u+v}+I_0(2\sqrt{uv})$.

Entonces

$\begin{array}\\ Q(t) &= \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{(at)^l(b/a)^k}{k!l!}\Big]\\ &= \frac{e^{at}}{a}\Big[e^{b/a}-e^{-at}S(at, b/a)\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[e^{at+b/a}-S(at, b/a)\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[e^{at+b/a}-(e^{at+b/a}-S(b/a, at)+I_0(2\sqrt{(at)(b/a)}))\Big]\\ &= \frac{1}{a}\Big[S(b/a, at)-I_0(2\sqrt{tb})\Big]\\ \end{array}$

Una vez más, no es una evaluación, sino una expresión alternativa posiblemente útil.

Esto me recuerda mucho a un trabajo que hice hace más de cuarenta años sobre la función Q de Marcum. Puede buscar eso y seguir las referencias. Puedes empezar aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Marcum_Q-function

Para recapitular mis hallazgos de la guía de @martycohen, llegué a este resultado para la transformada inversa de Laplace que necesito:

$$\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s(s-a)}e^{b/s}\Big\}(t) = \frac{e^{at}}{a}\sum_{k=1}^\infty \frac{(b/a)^k}{k!}\frac{\gamma(k+1,at)}{\Gamma(k+1)}.$$ El libro "An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics" de Temme (1996) proporciona la definición $$Q_\mu(u,v) = 1- e^{-u}\sum_{k=0}^\infty\frac{u^k}{k!}\frac{\gamma(\mu+k,v)}{\Gamma(\mu+k)}$$ para los no centrales$\chi^2$distribución, también conocido como el "Marcum generalizado$Q$-función", o simplemente el "Marcum$Q$-función" cuando$\mu=1$. La sugerencia de Marty proporciona $$\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s(s-a)}e^{b/s}\Big\}(t) = \frac{1}{a}e^{at+b/a}[1-Q_1(b/a,at)].$$ Hay una representación de esta función como una superposición infinita de funciones de Bessel modificadas de primer tipo, orden cero: $$Q_\mu(u,v) = 1-\int_0^v \Big(\frac{z}{u}\Big)^{\frac{1}{2}(\mu-1)}e^{-z-x}I_{\mu-1}(2\sqrt{xz}).$$ Esto tiene mucho sentido en el contexto del problema que condujo a la necesidad de esta transformada inversa de Laplace. ¡Gracias Martí! Esto ayuda a mi investigación.