Justificación topológica/geométrica para que CFT2CFT2\text{CFT}_2 sea especial

Este es esencialmente el teorema de rigidez de Liouville para mapeos conformes en$\color{red}{n\geq 3}$dimensiones. Curiosamente, la causa es la rigidez local [en lugar de las obstrucciones topológicas globales]. Para una prueba ver Refs. 1 y 2

Combinado con el hecho de que cada mapeo en$\color{red}{n=1}$dimensión es automáticamente conforme, tal vez no sea del todo sorprendente que el caso de la frontera$\color{red}{n=2}$es especial. De hecho, hay infinitas (dimensiones de) deformaciones conformes locales para$\color{red}{1\leq n\leq 2}$.

El punto principal es el siguiente Lema.

Lema. En un barrio de coordenadas donde la métrica$g_{\mu\nu}$es constante, los componentes$\varepsilon^{\mu}$de cada campo vectorial Killing conforme (CKVF) es como máximo un polinomio cuadrático en las coordenadas$x^{\nu}$[es decir, solo hay un número finito de (dimensiones de) deformaciones conformes locales] si$\color{red}{n\geq 3}$.

Prueba: ecuación de matanza conforme (CKE):

$$\omega g_{\mu\nu}~=~\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu} .\tag{1}$$

$$n \omega~\stackrel{(1)}{=}~ 2\varepsilon^{\mu}{}_{,\mu}.\tag{2}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\omega ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ 2\Box \varepsilon_{\mu}.\tag{3}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega ~\stackrel{(3)}{=}~ 2\Box\partial_{\mu} \varepsilon_{\nu} .\tag{4}$$

$$(\color{red}{n-1})\Box \omega~\stackrel{(2)+(4)}{=}~0 \quad \stackrel{\color{red}{n\neq 1}}{\Rightarrow} \quad \Box \omega~=~0.\tag{5}$$

$$~(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~\stackrel{(1)+(4)}{=}~g_{\mu\nu} \Box \omega~\stackrel{(5)}{=}~0\quad \stackrel{\color{red}{n\neq 2}}{\Rightarrow} \quad \partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~=~0.\tag{6}$$

ecuación (6) muestra que

$$\omega~=~a_{\mu}x^{\mu}+b\tag{7}$$

es una función afín$^1$de$x^{\mu}$.

$$\varepsilon_{\mu,\nu\lambda}+\varepsilon_{\nu,\mu\lambda}~\stackrel{(1)}{=}~ g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega \tag{8}$$

$$2\varepsilon_{\lambda,\mu\nu}~\stackrel{(8)}{=}~g_{\lambda\mu}\partial_{\nu}\omega +g_{\lambda\nu}\partial_{\mu}\omega -g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega ~\stackrel{(7)}{=}~\text{constant}.\tag{9}$$ $\Box$

Referencias:

1. P. Ginsparg, Teoría de campo conforme aplicada, arXiv:hep-th/9108028 ; p.5.

2. J. Slovak, Operador natural en variedades conformes, Tesis de habilitación 1993; pág.46. Un archivo PS está disponible aquí desde la página de inicio del autor. (Consejo de sombrero: Vit Tucek .)

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$^1$Los parametros$a_{\mu}$y$b$en la ec. (7) corresponden a$n$transformaciones conformes especiales y$1$dilatación, respectivamente,

$$\varepsilon_{\mu}~=~\frac{\omega}{2}x_{\mu}-\frac{x^2}{4}\partial_{\mu}\omega \quad \stackrel{(7)}{\Rightarrow} \quad \varepsilon_{\mu,\nu}~=~\frac{\omega}{2}g_{\mu\nu}+\frac{x_{\mu}}{2}\partial_{\nu}\omega-\frac{x_{\nu}}{2}\partial_{\mu}\omega .\tag{10}$$

ecuación (10) satisface la CKE (1), que es una PDE lineal no homogénea de primer orden en$\varepsilon_{\mu}$. ¿Qué otras soluciones hay? Después de restar la solución (10) de la CKE (1), obtenemos la PDE lineal homogénea de primer orden correspondiente, que es la ecuación de Killing (KE)

$$\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu}~=~0\tag{11}$$

con

$$\omega~=~0.\tag{12}$$

ecuaciones (9) y (12) muestran ahora que

$$\varepsilon_{\mu}~\stackrel{(9)+(12)}{=}~a_{\mu\nu}x^{\nu}+b_{\mu}\tag{13}$$

son funciones afines. Comparando con la KE (11), vemos que

$$a_{\mu\nu}~\stackrel{(11)+(13)}{=}~-a_{\nu\mu} \tag{14}$$

es antisimétrico. La solución (13) corresponde a$n(n-1)/2$rotaciones y$n$traducciones En total no generamos nada más que el$(n+1)(n+2)/2$álgebra conforme dimensional (global). El mensaje principal es que las deformaciones conformes locales son rígidas para$\color{red}{n\geq 3}$. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.