Interpretación Geométrica/Visual del Álgebra de Virasoro

He estado tratando de ganar algo de intuición sobre Virasoro Algebras, pero he fallado hasta ahora.

La definición matemática parece ser clara (como se encuentra en http://en.wikipedia.org/wiki/Virasoro_algebra ). Parece que no puedo ganar algo de intuición al respecto. Como una extensión central de Witt Algebras, esperaba que tuviera que haber alguna interpretación geométrica, ya que puedo imaginarme Witt Algebras bastante bien.

Si alguien tiene alguna buena interpretación geométrica o visual del álgebra de Virasoro, ¡lo agradecería mucho!

Respuestas (2)

La representación visual más simple del grupo de Lie asociado con el álgebra de Virasoro (Lie) es el grupo de reparametrizaciones de un círculo.

Imagina eso σ es una variable periódica con la periodicidad 2 π . Un difeomorfismo infinitesimal se especifica mediante una función periódica Δ σ ( σ ) con la periodicidad 2 π . Entonces los generadores de las reparametrizaciones pueden escribirse como F ( σ ) ∂ / ∂ σ .

Las posibles funciones F ( σ ) puede expandirse a la serie de Fourier, por lo que una base natural de los generadores de las reparametrizaciones del círculo son

L metro = i Exp ⁡ ( i metro σ ) ∂ ∂ σ
Como ejercicio, calcule que el conmutador [ L metro , L norte ] es lo que debería ser según el álgebra de Virasoro, a saber ( metro − norte ) L metro + norte .

El álgebra de Virasoro para una cadena cerrada tiene dos copias del álgebra anterior, y para la cadena abierta, es solo una copia, pero es diferente a las derivadas "holomórficas" que usé anteriormente. Hay varias formas relacionadas de representar el álgebra, pero las reparametrizaciones del círculo son el ejemplo más simple.

¿No estás hablando del álgebra de Witt? Creo que Knoten tuvo un problema al visualizar la extensión central de esto. Entiendo que diferencia ( S 1 ) , el grupo de difeomorfismos sobre el círculo unitario, es el Grupo asociado al álgebra de Witt (como dices). ¿Pero sabes si existe tal grupo para el álgebra de Virasoro? Muchos libros parecen sugerir que no, pero no creo haber visto una prueba de esto.
Ah, claro. Obviamente, no existe una representación visual fuera del espacio de Hilbert de la extensión central que difiera de la C = 0 álgebra. La razón es que la extensión central tiene C -Números en los conmutadores. ;-) Ningún C -los números solo pueden representarse como la transformación de fase en el espacio de Hilbert, y una transformación de fase de un vector en el espacio de Hilbert no cambia el carácter de este estado "físicamente" o "geométricamente" - se trata solo de la normalización . Entonces, las extensiones centrales son solo extensiones centrales y comparten las visualizaciones originales con el C = 0 .
¿Entendí bien que estás diciendo que puedo usar la misma interpretación geométrica de Witt Algebra y aplicarla a Virasoro?
Claro, la extensión central de un álgebra es solo una modificación muy sutil del álgebra original que no cambia su significado físico. Para cada extensión central, uno puede obtener el álgebra original simplemente estableciendo todos los C -Generadores de números a cero. Esto preserva la identidad jacobi, etc. porque el C -generadores de números conmutados con cualquier otra cosa, de todos modos - bueno, eso significa que era "central". ;-) En teoría de cuerdas, el álgebra de Virasoro sigue siendo el álgebra de las reparametrizaciones de la hoja del mundo, incluso para C ≠ 0 .
Suena bastante lógico :) Lo tomaré
Tal vez debería haber dicho, hace dos años, que el lado derecho del álgebra de Virasoro -y otros- contiene operadores propios, y esos corresponden a los corchetes de Poisson; y ellos puede contener el C -números. son similares a i ℏ en [ X , pags ] . Más generalmente, se multiplican por una potencia superior de ℏ . De todos modos, estos C -los términos numéricos desaparecen, incluso en relación con los términos con valores de operador, en el clásico ℏ → 0 límite lo que significa que la interpretación clásica es independiente de estos C -términos numéricos (es lo mismo para una extensión central).

Hay un verdadero grupo de mentiras D i F F ~ ( S 1 ) el cual es un tu ( 1 ) extensión central del grupo Lie real D i F F ( S 1 ) , y el álgebra de Virasoro es el álgebra de Lie de este grupo de Lie.

La extensión central D i F F ~ ( S 1 ) se puede realizar geométricamente de dos maneras. El primero es a través de una incrustación en el espacio de Hilbert (como en el libro de Pressley-Segal), y el segundo es a través del paquete de líneas determinantes.

Todo esto está muy bien explicado en el Apéndice D del libro "Geometría conforme bidimensional y álgebras de operadores de vértices" de Huang.

¡Interesante! Supongo que el punto es que el álgebra de Virasoro podría parecer el álgebra de Lie de un grupo de Lie, pero presumiblemente cuando se trata de la forma específica en que actúa en el caso de, por ejemplo, 1+1D CFT, no puede interpretarse como la acción de tal grupo de mentiras.
No. No hay problema - el grupo completo de Lie D i F F ~ ( S 1 ) actúa en 1+1d CFT, no solo en el álgebra de Lie. Esto se explica en el libro de Huang. Es un malentendido popular que hay algún tipo de "problema", que solo actúa "el álgebra de mentira".
Lo que se refiere como un malentendido popular parece resolverse de manera diferente en el libro de Schottenloher "Una introducción matemática a la teoría del campo conforme", la sección 5.4 se refiere a la inexistencia del complejo grupo Virasoro.
No hay desacuerdo entre la forma en que el libro de Schottenloher y el libro de Huang resuelven esto. Ver el último párrafo en la Sección 5.4 en el libro de Schottenloher.
El libro de Schottenloher también es un gran libro, pero presenta un poco mal el problema en la Sección 5.4. Schottenloher concibe el grupo Diff(S^1) de difeomorfismos del círculo como significativo para la teoría del campo conforme. Los físicos también piensan así, y esto lleva a la confusión. Más bien es el grupo de cociente Diff(S^1) / Rot(S^1) de difeomorfismos de S^1 dividido por rotaciones lo que es significativo para la teoría de campos conformes.
La razón es que el grupo M := Diff(S^1) / Rot(S^1) tiene una hermosa interpretación geométrica: es el "grupo de mapeo de Riemann". Más precisamente, es el conjunto de todos los mapas inyectivos fuera del disco unitario cerrado, F : D → F ( D ) , que son holomorfas en el interior de D y suavizar hasta el límite de D , normalizado por la condición de que F ( 0 ) = 1 y F ′ ( 0 ) = 1 . Podemos llamar a tal mapa un "mapa de Riemann" ya que son precisamente estos mapas de los que trata el teorema de mapeo de Riemann.
Así que este es precisamente el grupo al que los físicos -realmente se refieren- cuando hablan del "grupo de transformaciones conformes".
Este es un hermoso grupo. De hecho, tiene incluso una hermosa estructura compleja que es Kahler (ver Kirillov, Kahler estructuras sobre el grupo de difeomorfismos de un círculo), y una extensión central canónica, que es el "grupo Virasoro". ¡Esta extensión también tiene un significado geométrico! Es lo que ocurre si se baja el requisito F ′ ( 0 ) = 1 arriba.
Ha pasado un tiempo desde que pensé en esto y espero no haberme confundido, pero creo que esta es la esencia. El grupo correcto "no extendido centralmente" en CFT es M, no Diff (S ^ 1). Una vez que te das cuenta de esto, todos los demás problemas se desvanecen.
Recomiendo el artículo de Kirillov al que me referí anteriormente. Todo es consistente con Huang y Schottenloher, y ofrece un buen resumen.
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