Diferencia entre álgebra de transformaciones conformes infinitesimales y álgebra conforme

Dejar

$$\begin{align} \overline{\mathbb{R}^{p,q}}~~:=&~~\left\{y\in \mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\}\mid \eta^{p+1,q+1}(y,y)=0\right\}/\mathbb{R}^{\times} \cr ~~\subseteq &~~ \mathbb{P}_{p+q+1}(\mathbb{R})~~\equiv~~(\mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\})/\mathbb{R}^{\times}, \cr &\mathbb{R}^{\times}~~\equiv~~\mathbb{R}\backslash\{0\}, \end{align}\tag{1}$$ denotan la compactación conforme de$\mathbb{R}^{p,q}$. Topológicamente, $$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~(\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^q)/\mathbb{Z}_2 .\tag{2}$$ Él$\mathbb{Z}_2$-acción en la ec. (2) identifica puntos relacionados a través de un intercambio de antípodas simultáneo en la esfera espacial y temporal. la incrustación$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$es dado por $$\imath(x)~:=~\left(1-\eta^{p,q}(x,x): ~2x:~ 1+\eta^{p,q}(x,x)\right). \tag{3}$$ Dejar$n:=p+q$. [Si$n=1$, entonces cualquier transformación es automáticamente una transformación conforme , así que supongamos$n\geq 2$. Si$p=0$o$q=0$entonces la compactación conforme$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~\mathbb{S}^n$es un$n$-esfera.]

1. Por un lado, está el grupo conforme (global)

   $${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \}\tag{4}$$ que consiste en el conjunto de transformaciones conformes definidas globalmente en$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$. Esto es un$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$grupo de mentira dimensional. Los cocientes en las ecs. (2) y (4) son remanentes del espacio proyectivo (1).

   El componente conexo que contiene el elemento de identidad es

   $${\rm Conf}_0(p,q)~\cong~\left\{\begin{array}{ll} SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \} &\text{if both $p$ and $q$ are odd},\cr SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1) &\text{if $p$ or $q$ are even}.\end{array}\right.\tag{5}$$ Los dos casos en la ec. (5) corresponde a si$-{\bf 1}\in SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)$o no, respectivamente. El grupo conformado global${\rm Conf}(p,q)$tiene 4 componentes conectados si ambos$p$y$q$son impares y 2 componentes conectadas si$p$o$q$son pares. El álgebra conforme (global) $${\rm conf}(p,q)~\cong~so(p\!+\!1,q\!+\!1)\tag{6}$$ es el correspondiente$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$álgebra de mentira dimensional. En cuanto a las dimensiones, el álgebra de Lie se descompone en$n$traducciones,$\frac{n(n-1)}{2}$rotaciones,$1$dilatación, y$n$transformaciones conformes especiales.

2. Por otro lado, está el grupoide conforme local

   $${\rm LocConf}(p,q)~=~\underbrace{{\rm LocConf}_+(p,q)}_{\text{orientation-preserving}} ~\cup~ \underbrace{{\rm LocConf}_-(p,q)}_{\text{orientation-reversing}} \tag{7}$$ que consiste en transformaciones conformes definidas localmente. Denotemos la componente conexa que contiene el elemento identidad $${\rm LocConf}_0(p,q)~\subseteq~{\rm LocConf}_+(p,q). \tag{8}$$ El algebroide conforme local $${\rm locconf}(p,q)~=~{\rm LocConfKillVect}(\overline{\mathbb{R}^{p,q}})\tag{9}$$ consiste en campos vectoriales de Killing conformes definidos localmente , es decir, generadores de transformaciones conformes.

   • Para$n\geq 3$, (la generalización pseudo-Riemanniana de) el teorema de rigidez de Liouville establece que todas las transformaciones conformes locales pueden extenderse a transformaciones conformes globales, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones. Por lo tanto, las transformaciones conformes locales solo son interesantes para$n=2$.

   • Para el plano de Minkowski 1+1D consideramos las coordenadas del cono de luz$x^{\pm}\in \mathbb{S}$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Las transformaciones conformes que conservan la orientación definidas localmente son productos de 2 difeomorfismos monótonamente crecientes (decrecientes) en el círculo$\mathbb{S}^1$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_+(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1) \cr &~\cup~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1),\cr {\rm LocConf}_0(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1).\end{align}\tag{10}$$ Una transformación de inversión de orientación es solo una transformación de conservación de orientación compuesta con el mapa$(x^+,x^-)\mapsto (x^-,x^+)$. El álgebra conforme local correspondiente $${\rm locconf}(1,1)~=~{\rm Vect}(\mathbb{S}^1)\oplus {\rm Vect}(\mathbb{S}^1) \tag{11}$$ se convierte en dos copias del álgebra de Witt real , que es un álgebra de Lie de dimensión infinita.

   • Para el plano euclidiano 2D$\mathbb{R}^{2}\cong \mathbb{C}$, cuando identificamos$z=x+iy$y$\bar{z}=x-iy$, entonces las transformaciones conformes definidas localmente que preservan la orientación (inversión de la orientación) son mapas holomorfos (anti-holomórficos) no constantes en la esfera de Riemann $\mathbb{S}^2=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_0(2,0)~=~&{\rm LocConf}_+(2,0)\cr ~=~&{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2), \cr\cr {\rm LocConf}_-(2,0)~=~&\overline{{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2)} ,\end{align}\tag{12}$$ respectivamente. Un mapa anti-holomórfico es solo un mapa holomórfico compuesto con conjugación compleja$z\mapsto\bar{z}$. El algebroide conforme local correspondiente $${\rm locconf}(2,0)~=~{\rm LocHolVect}(\mathbb{S}^2)\tag{13}$$ consiste en generadores de mapas holomorfos definidos localmente (¡sin anti-holomórficos!) en$\mathbb{S}^2$. Contiene un álgebra de Witt compleja.

Referencias:

1. M. Schottenloher, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Capítulo 1 y 2.

2. R. Blumenhagen y E. Plauschinn, Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 779, 2009; Sección 2.1.

3. P. Ginsparg, Teoría de campo conforme aplicada, arXiv:hep-th/9108028 ; Capítulo 1 y 2.

4. J. Slovak, Operador natural en variedades conformes, Tesis de habilitación 1993; pág.46. Un archivo PS está disponible aquí desde la página de inicio del autor. (Consejo de sombrero: Vit Tucek .)

5. AN Schellekens, notas de la conferencia CFT , 2016.