Cantidad invariante de conmutadores

Estoy leyendo este artículo sobre mecánica cuántica conforme de De Alfaro, Fubini y Furlan. Allí encuentran el álgebra de los generadores de ( 0 + 1 ) -D transformaciones conformes (Ec. 2.23)

[ H , D ] = i H , [ k , D ] = − i k , [ H , k ] = 2 i D .
Aquí H es el operador hamiltoniano, D es el generador de dilatación, y k es el operador conforme especial en ( 0 + 1 ) -D. En la página siguiente, definen un operador
GRAMO = tu H + v D + w k
dónde tu , v , w son constantes. A continuación, dicen que a partir de la relación del conmutador es fácil ver que la cantidad Δ = v 2 − 4 tu w es invariante con respecto a cualquier transformación conforme general GRAMO → tu − 1 GRAMO tu .

Puedo verificar que esto es cierto usando cualquier tu . Pero lo que no entiendo es cómo se puede determinar "fácilmente" cuál es la expresión de Δ debe ser sólo de mirar las relaciones de conmutación? ¿Cómo consiguen esto? Δ ?

Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf.

Respuestas (1)

Tal vez de Alfaro et al noten que

[ GRAMO , ( D H k ) ] = i METRO ( D H k ) , METRO := ( 0 tu − w − 2 w − v 0 2 tu 0 v ) .
Desde METRO es singular y sin rastro, sus valores propios son de la forma 0 , ± λ . Si diagonalizamos para aislar el 0 valor propio, el producto de los demás debe ser un cuadrático homogéneo, por lo que λ es una raíz cuadrada de la misma. Y no sorprende, dado cómo funcionan las ecuaciones cuadráticas, que λ = v 2 − 4 tu w .

Tenga en cuenta en particular que no necesitamos calcular METRO darse cuenta de eso, ni darse cuenta será singular ( GRAMO da un elemento kernel obvio) o sin rastro (que solo requiere los conmutadores "autointeractivos" [ H , D ] , [ k , D ] tener coeficientes opuestos).

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