Derivación del tiempo necesario hasta el Equilibrio Térmico

Question

Derivación del tiempo necesario hasta el Equilibrio Térmico

Física
integración
temperatura
termodinámica
conduccion de calor
conductividad térmica

físico

Dos materiales de masa $m_1$ y $m_1$ , capacidad calorífica específica $C_1$ y $C_2$ y temperatura $T_1 > T_2$ están separados por un sólido conductor con espesor $L$ , área $A$ y conductividad térmica $k$ que permanece fijo independientemente del gradiente de temperatura cambiante $T_1-T_2=\Delta T$ con el tiempo. la cantidad de energía $Q$ transferido por segundo es entonces igual a:

\frac{d q}{d t} = Δ T \cdot \frac{k \cdot A}{L}

$\frac{dQ}{dt}=\Delta T\cdot\frac{k\cdot A}{L}$ Estoy tratando de derivar el tiempo necesario hasta el equilibrio térmico.

T_{e q}

$T_{eq}$ Ha sido alcanzado. Dado que la tasa de transferencia de energía

Q

$Q$ depende de

Δ T

$\Delta T$ que a su vez cambia con el tiempo, por lo tanto, razonaría que uno debería calcular el tiempo necesario para transferir una energía infinitesimalmente pequeña

d Q

$dQ$ y sumar eso hasta la energía total

Q_{e q}

$Q_{eq}$ ha sido transferido. Esto conduciría a una integración que da el tiempo total necesario:

t_{mi q} = \int_{0}^{q_{mi q}} \frac{1}{Δ T \cdot \frac{k \cdot A}{L}} \cdot d q = \int_{0}^{q_{mi q}} \frac{1}{(\frac{{mi}_{1} - q}{C_{1} {metro}_{1}} - \frac{{mi}_{2} + q}{C_{2} {metro}_{2}}) \cdot \frac{k \cdot A}{L}} \cdot d q

$t_{eq}=\int_0^{Q_{eq}}\frac{1}{\Delta T\cdot \frac{k\cdot A}{L}}\cdot dQ=\int_0^{Q_{eq}}\frac{1}{\bigg(\frac{E_1-Q}{C_1m_1}-\frac{E_2+Q}{C_2m_2}\bigg)\cdot \frac{k\cdot A}{L}}\cdot dQ$ Dónde

E_{1}

$E_1$ y

E_{2}

$E_2$ son las energías térmicas iniciales de los materiales. El término entre paréntesis en el denominador es

Δ T

$\Delta T$ en términos de energía en pasos de

d Q

$dQ$ durante la integración. Reescribiendo la integración en términos de

d Δ T

$d\Delta T$ que es igual a

d Δ T = - d Q (\frac{1}{C_{1} m_{1}} + \frac{1}{C_{2} m_{2}})

$d\Delta T = -dQ\bigg(\frac{1}{C_1m_1}+\frac{1}{C_2m_2}\bigg)$ :

t_{mi q} = \int_{0}^{T_{1} - T_{2}} \frac{1}{Δ T (\frac{1}{C_{1} {metro}_{1}} + \frac{1}{C_{2} {metro}_{2}}) \cdot \frac{k \cdot A}{L}} \cdot d Δ T

$t_{eq}=\int_0^{T_1-T_2}\frac{1}{\Delta T\bigg(\frac{1}{C_1m_1}+\frac{1}{C_2m_2}\bigg)\cdot \frac{k\cdot A}{L}}\cdot d\Delta T$ Tengo 2 preguntas sobre este enfoque:

1. Las integraciones son divergentes porque el denominador se aproxima a 0, lo que hace imposible derivar una integral definida para el tiempo $t_{eq}$ . ¿Cómo se debe resolver este problema?

2. Sabiendo que los límites superiores $Q_{eq}= \frac{E_1C_2m_2-E_2C_1m_1}{C_1m_1+C_2m_2}$ y $T_1-T_2=E_1C_1m_1 - E_2C_2m_2$ , las integraciones en términos de $Q$ y $\Delta T$ debe dar el mismo resultado. Sin embargo, al calcular las integraciones numéricamente, dan valores completamente diferentes. ¿Cómo?

Respuestas (2)

Derivación del tiempo necesario hasta el Equilibrio Térmico

Chet Miller · Answer 1

Chet Miller

Las ecuaciones que se deben usar son

{metro}_{1} C_{1} \frac{d T_{1}}{d t} = \frac{k A}{L} (T_{2} - T_{1})

$m_1C_1\frac{dT_1}{dt}=\frac{kA}{L}(T_2-T_1)$ y

{metro}_{2} C_{2} \frac{d T_{2}}{d t} = \frac{k A}{L} (T_{1} - T_{2})

$m_2C_2\frac{dT_2}{dt}=\frac{kA}{L}(T_1-T_2)$ Entonces,

\frac{d (T_{1} - T_{2})}{d t} = - \frac{k A}{L} [\frac{1}{{metro}_{1} C_{1}} + \frac{1}{{metro}_{2} C_{2}}] (T_{1} - T_{2})

$\frac{d(T_1-T_2)}{dt}=-\frac{kA}{L}\left[\frac{1}{m_1C_1}+\frac{1}{m_2C_2}\right](T_1-T_2)$ La solución a esta ecuación es

(T_{1} - T_{2}) = (T_{1} - T_{2})_{t = 0} Exp (- \frac{k A}{L} [\frac{1}{{metro}_{1} C_{1}} + \frac{1}{{metro}_{2} C_{2}}] t)

$(T_1-T_2)=(T_1-T_2)_{t=0}\exp{\left(-\frac{kA}{L}\left[\frac{1}{m_1C_1}+\frac{1}{m_2C_2}\right]t\right)}$ ¿Qué te dice esto acerca de cuánto tiempo le tomaría a este sistema alcanzar el equilibrio? Sobre una base práctica, ¿puede estimar cuánto tiempo le tomaría "efectivamente" a este sistema alcanzar el equilibrio?

Gert

¡Me ganaste!

físico

@Chet Miller Gracias. Su segunda ecuación es de hecho lo que deduje, pero no sé cómo llegó a la solución, ¿podría explicarlo? Además, ¿no debería entonces resolver

0 = (T_{1} - T_{2})_{t = 0} Exp (- \frac{k A}{L} [\frac{1}{{metro}_{1} C_{1}} + \frac{1}{{metro}_{2} C_{2}}] t)

$0=(T_1-T_2)_{t=0}\exp{\left(-\frac{kA}{L}\left[\frac{1}{m_1C_1}+\frac{1}{m_2C_2}\right]t\right)}$ calcular el tiempo necesario para alcanzar el equilibrio? Pero entonces

t

$t$ tendría que ser infinito, ¿por qué no es posible calcularlo de esta manera?

Gert

@Phy Pero entonces t tendría que ser infinito, ¿por qué no es posible calcularlo de esta manera? ¡Porque ese tiempo realmente es INFINITO! Así es como funciona el decaimiento exponencial:

Δ T

$\Delta T$ evoluciona asintóticamente a

0

$0$ para

t \to + \infty

$t\to +\infty$ . Pero puedes calcular un tiempo para llegar

0.05 \times Δ (t = 0)

$0.05 \times \Delta(t=0)$ Por ejemplo.

Gert

@Phy Ahora dale a ese hombre un voto a favor, como lo he hecho yo: su respuesta es 100 % correcta.

Chet Miller

Matemáticamente, es infinito. Pero, en la práctica, puede decir que se alcanza el equilibrio cuando alcanza el 1%, el 0,1% o el 0,01% (o lo que más le convenga) de la diferencia de temperatura inicial. La ecuación diferencial es de la forma

\frac{d y}{d t} = - λ y

$\frac{dy}{dt}=-\lambda y$ o

\frac{d \ln y}{d t} = - λ

$\frac{d\ln{y}}{dt}=-\lambda$ . Esta es una ecuación relativamente fácil de resolver.

físico

@ChetMiller ¡Gracias! Necesito una aclaración sobre mi segunda pregunta y luego termino. Mi integración derivada en términos de

Δ T

$\Delta T$ de hecho da su solución. Al comparar esta solución con la solución de mi integración derivada en términos de

Q

$Q$ , Muestra que

Δ T = C_{1} {metro}_{1} ({mi}_{2} + q) + C_{2} {metro}_{2} (q - {mi}_{1})

$\Delta T= C_1m_1(E_2+Q)+C_2m_2(Q-E_1)$ Sin embargo, sé que

Δ T = \frac{{mi}_{1} - q}{C_{1} {metro}_{1}} - \frac{{mi}_{2} + q}{C_{2} {metro}_{2}}

$\Delta T= \frac{E_1 -Q}{C_1 m_1}-\frac{E_2 +Q}{C_2 m_2}$ Estas dos expresiones para

Δ T

$\Delta T$ sólo dan el mismo resultado cuando

Q

$Q$ es la energía total transferida hasta alcanzar el equilibrio. Dan resultados diferentes para otros valores de Q. ¿Qué está mal aquí?

Chet Miller

No estoy familiarizado con su enfoque. ¿Qué se supone que son exactamente las E? Si resuelve estas ecuaciones para T1 y T2 como función de t, ¿qué obtiene? ¿Qué obtienes para Q como una función de t?

Gert

Sí, estoy muy intrigado por

E_{1}

$E_1$ y

E_{2}

$E_2$ .

físico

@ChetMiller Las E son las energías térmicas iniciales en

t = 0

$t=0$ . mi integral sobre

d Δ T

$d\Delta T$ da su solución. Reescribiendo la integral sobre

d Q

$dQ$ (detalles en el OP) da esta solución según integral-calculator.com:

t = \frac{en (C_{1} {metro}_{1} (q + {mi}_{2}) + C_{2} {metro}_{2} (q - {mi}_{1}))}{- \frac{k A}{L} (\frac{1}{C_{2} {metro}_{2}} + \frac{1}{C_{1} {metro}_{1}})}

$t=\frac{\ln\left(C_1m_1\left(Q+E_2\right)+C_2m_2\left(Q-E_1\right)\right)}{-\frac{kA}{L}\left(\frac{1}{C_2m_2}+\frac{1}{C_1m_1}\right)}$ Reescribiendo su propia solución para salir

t

$t$ muestra que el numerador es la única diferencia que implica

Δ T = C_{1} {metro}_{1} ({mi}_{2} + q) + C_{2} {metro}_{2} (q - {mi}_{1})

$\Delta T= C_1m_1(E_2+Q)+C_2m_2(Q-E_1)$ que es diferente de la verdadera fórmula de

Δ T

$\Delta T$ en términos de

Q

$Q$ (comentario anterior)

Chet Miller

El resultado correcto debe ser

Δ T = \frac{{mi}_{1} - \int q d t}{{METRO}_{1} C_{1}} - \frac{{mi}_{2} + \int q d t}{{METRO}_{2} C_{2}}

$\Delta T=\frac{E_1-\int{Qdt}}{M_1C_1}-\frac{E_2+\int{Qdt}}{M_2C_2}$ dónde

E_{1} = M_{1} C_{1} T_{1} (0)

$E_1=M_1C_1T_1(0)$ y

E_{2} = M_{2} C_{2} T_{2} (0)

$E_2=M_2C_2T_2(0)$ , y Q es la tasa de flujo de calor.

físico

@ChetMiller Lo siento, pero ¿no deberían terminar estas integrales?

Q d t

$Qdt$ sería innecesario si escribo la integral completa para el tiempo como

\int_{0}^{q_{mi q}} \frac{1}{(\frac{{mi}_{1} - q}{C_{1} {metro}_{1}} - \frac{{mi}_{2} + q}{C_{2} {metro}_{2}}) \cdot \frac{k \cdot A}{L}} \cdot d q

$\int_0^{Q_{eq}}\frac{1}{\bigg(\frac{E_1-Q}{C_1m_1}-\frac{E_2+Q}{C_2m_2}\bigg)\cdot \frac{k\cdot A}{L}}\cdot dQ$ En este caso

Q

$Q$ va en pasos de

d Q

$dQ$ de todos modos lo que hace

\int Q d t

$\int Qdt$ no es necesario. Eso sí, estoy definiendo

Q

$Q$ como la energía térmica total transferida hasta un cierto punto de tiempo, no como la tasa de flujo de calor.

Chet Miller

Bueno, revisé el álgebra de la ecuación que escribí, y resultó en una identidad. Por lo que llamas Q, tengo

q = \frac{{metro}_{1} C_{1} {metro}_{2} C_{2}}{{metro}_{1} C_{1} + {metro}_{2} C_{2}} ((Δ T)_{0} - Δ T)

$Q=\frac{m_1C_1m_2C_2}{m_1C_1+m_2C_2}((\Delta T)_0-\Delta T)$

físico

@ChetMiller Sí, esta es de hecho la misma expresión para

Δ T

$\Delta T$ como lo deduje. Entonces, ¿no significa esto que mi expresión de integración sobre

d Q

$dQ$ ¿es correcto? En caso afirmativo, ¿por qué arroja una solución con una expresión diferente para

Δ T

$\Delta T$ según integral-calculator.com? El sitio web menciona que la solución se calcula por máximos. aquí está la solución

Chet Miller

Lo siento, realmente no estoy interesado en ayudar a resolver problemas de matemáticas. Mi enfoque es mostrar cómo aplicar las leyes de transferencia de calor para llegar a una solución.

Chet Miller

En su ecuación para t (hace algunas publicaciones), no incluyó el límite de integración inferior Q = 0 en t = 0.

Chet Miller · Answer 2

El valor correcto de la integral con respecto a Q, teniendo en cuenta el límite de integración en Q = 0, t = 0 es:

- \frac{k A}{L} [\frac{1}{{metro}_{1} C_{1}} + \frac{1}{{metro}_{2} C_{2}}] t = en (\frac{C_{1} {metro}_{1} (q + {mi}_{2}) + C_{2} {metro}_{2} (q - {mi}_{1})}{C_{1} {metro}_{1} {mi}_{2} - C_{2} {metro}_{2} {mi}_{1}})

$-\frac{kA}{L}\left[\frac{1}{m_1C_1}+\frac{1}{m_2C_2}\right]t=\ln{\left(\frac{C_1m_1(Q+E_2)+C_2m_2(Q-E_1)}{C_1m_1E_2-C_2m_2E_1}\right)}$

¡Sí! Esta es de hecho la solución para mi integral en términos de $Q$ . Muchas gracias por su tiempo y esfuerzo. Sin darme cuenta, estaba considerando las antiderivadas como las soluciones todo el tiempo, olvidando que las integrales tienen límites específicos. No estoy seguro de cómo has logrado resolver esta integral en términos de $Q$ sin embargo, muchas herramientas de cálculo en los sitios web no parecen poder resolverlo.
No importa, me acabo de dar cuenta de que reescribir $\ln(\frac{\Delta T}{\Delta T_{t=0}})$ desde su primera solución en términos de $Q$ también da el mismo resultado. ¡Gracias de nuevo!

Derivación del tiempo necesario hasta el Equilibrio Térmico

físico

Respuestas (2)

Chet Miller

Gert

físico

Gert

Gert

Chet Miller

físico

Chet Miller

Gert

físico

Chet Miller

físico

Chet Miller

físico

Chet Miller

Chet Miller

Chet Miller

físico

Chet Miller

físico

¿Qué es la temperatura en función del tiempo en la Ley de Fourier?

¿A qué tasa una ropa mojada disminuye la temperatura de un cuerpo humano?

Calcular energía a partir de Temperatura - Curva de tiempo

Aumento del punto de ebullición sin cambio en las condiciones físicas.

¿Qué condiciones de contorno obedece un perfil de temperatura inicial de estado estacionario que evoluciona de acuerdo con la ecuación de flujo de calor?

Conductividad térmica transitoria con flujo de calor variable en 1D

¿Agregar agua fría a los enfriadores de aire por evaporación realmente produce aire más frío?

¿Por qué una conductividad térmica más grande proporciona un gradiente de temperatura más pequeño?

¿Cuál es el perfil de temperatura de los fluidos fríos y calientes para un intercambiador de calor de flujo paralelo de tubería doble?

Si dos o más calentadores eléctricos diferentes tienen el mismo consumo de energía, ¿proporcionan la misma cantidad de calor a la habitación?