Pregunta fácil sobre matemáticas de la ecuación de difusión.

Tengo la siguiente ecuación de difusión bien conocida:

∂ σ ∂ t = D ∇ 2 σ

dónde σ es el esfuerzo hidrostático. También conozco la relación entre el estrés y la temperatura de la siguiente manera:

∇ 2 σ = 2 mi 3 ( v − 1 ) α ∇ 2 T

Sin embargo, mi confusión surge del hecho de que mi función T ( X , y ) porque la distribución de temperatura no tiene una notación de tiempo (es decir t ), y por lo tanto la segunda ecuación resultará en σ ( X , y ) . Sin embargo, la primera ecuación dice que σ es una cantidad dependiente del tiempo (es decir, σ ( X , y , t ) . No tengo ningún problema en resolverlo, pero no tiene mucho sentido para mí. Si σ de hecho depende del espacio y el tiempo, ¿cómo t -La dependencia aún no aparecerá la segunda ecuación en la primera. Lo siento si es una confusión demasiado trivial, fundamental y matemática.

¿Puede proporcionar una cita para la primera ecuación? Debido a que nunca antes había visto la ecuación de difusión aplicada a un campo de estrés, no tiene sentido para mí.
@lemon Se deriva de mi propio trabajo y se publicará pronto. Me temo que no puedo compartir con ustedes más detalles: odio los derechos de autor y no creo en la propiedad intelectual, pero tengo que apegarme a las estúpidas reglas universitarias :( Viva free/open source y el anarquismo.
@lemon, sin embargo, básicamente, la primera ecuación se basa en un (proceso dependiente del tiempo de) evolución de la tensión en los metales. Mi confusión, sin embargo, surge del hecho de que el campo laplaciano de tensión está bien relacionado con el campo laplaciano de temperatura. Sin embargo, está meramente en el espacio, mientras que la primera relación de evolución del estrés está en el espacio-tiempo. Matemáticamente, funciona perfectamente bien cuando conecto la solución de la segunda ecuación en la primera, pero no la obtengo por completo. ¿Alguna idea o aporte? Muy apreciado.

Respuestas (2)

Desde un punto de vista puramente matemático, esas dos ecuaciones solo están acopladas de manera trivial: puede resolver la ecuación de difusión para σ sin referencia alguna a T . Una vez que tengas σ , puede usarlo como término fuente para la ecuación de Poisson para encontrar T - aunque en general, T será dependiente del tiempo.

Desde un punto de vista físico, la tensión térmica en el material es proporcional a la temperatura (o más bien, a Δ T ≡ T − T r mi F , dónde T r mi F es una temperatura de referencia). Esto significa que los operadores laplacianos son innecesarios y también significa que el campo de temperatura debe depender del tiempo (a menos que la tensión y la temperatura ya estén en una configuración de estado estable).

No entiendo por qué parece insistir en que el campo de temperatura no depende del tiempo. Las ecuaciones que escribiste no necesariamente requieren T cambiar con el tiempo desde una perspectiva puramente matemática, pero la física de la situación implica que debe hacerlo.

Gracias por tu contribución. "Esto significa que los operadores laplacianos son innecesarios"? Tengo una distribución de temperatura loca con gradientes primero y segundo distintos de cero. Entonces, ¿cómo debo relacionar el estrés archivado con el campo de temperatura?
¿Por qué importa la "locura" de la distribución de temperatura? En ausencia de tensión mecánica, la tensión en cada punto debería ser proporcional a la temperatura relativa allí. Normalmente uno escribe
σ = − mi α 1 − 2 v Δ T
así que no estoy seguro de su constante de proporcionalidad, pero la relación se mantiene: no debería necesitar diferenciar ambos lados.
De hecho, es necesario tomar Laplacian si necesito una relación pura entre solo los campos de estrés y temperatura. Curiosamente , ni siquiera he considerado la expansión térmica y no tengo una ecuación para eso en mi análisis. En otras palabras, el estrés está altamente relacionado con la temperatura pero a través de un proceso completamente diferente a la expansión térmica. Este proceso crea un primer gradiente de estrés distinto de cero (ese tipo de puede verse como BCs al gradiente de la ecuación de estrés térmico). ¡Sin embargo, la ecuación que proporcioné siempre es cierta! Sin embargo, estoy muy confundido, pero ¿ahora tiene sentido por qué hice eso?
No para mí. ¿Por qué mecanismo influye la temperatura en la tensión interna de un material si no es a través de la expansión térmica?
Cosa segura. Los gradientes de temperatura crean una fuerza impulsora en la microestructura de los metales llamada termomigración que impulsa el flujo atómico y, por lo tanto, causa estrés. En dimensión nano es un estrés enorme (hasta 500MPa). Se describe a través j = D C k T q T ∇ T dónde D , k y q son el coeficiente de difusión, la constante de Boltzmann y el calor específico de transferencia. Esto se puede ver más o menos como una fuerza corporal (tal vez no).
Para su información, la evolución del estrés se describe a continuación a través de: ∂ σ ∂ t = B ∇ ( D q k T 2 ∇ T + . . . ) dónde B es el módulo volumétrico efectivo. Es una preocupación bastante grande en la confiabilidad de los chips integrados (la tensión excesiva de compresión o tracción degradará la resistencia, el rendimiento y la confiabilidad o incluso en casos extremos creará un vacío o extrusión...). ¿Qué opinas? Cualquier discusión fructífera es apreciada.
Interesante. Las tensiones térmicas asociadas con la migración de partículas en microelectrónica definitivamente están fuera de mi área de familiaridad, por lo que no creo que pueda brindar mucha ayuda aquí. Dicho esto, si el campo de tensiones sigue obedeciendo a la ecuación de difusión, todo lo que queda por hacer es determinar la condición inicial y las condiciones de contorno, que presumiblemente estarían influenciadas por la termomigración. Eso sin duda sería notable, sin embargo.
Veo tu punto sobre obedecer a la difusión. Como última parte de nuestra conversación: ¿Podría tratar de usar su conocimiento de la mecánica continua y adivinar/explicar/resumir..., aunque está ocurriendo un proceso diferente a la expansión térmica, por qué todavía ∇ 2 σ = C ∇ 2 T es valido perfectamente? Lo entiendo un poco, pero no es como entenderlo completamente.
Además, cualquier comentario sobre la validez del factor previo en mi segunda ecuación (es decir, − 2 mi α 3 ( v − 1 ) ) es muy apreciado, si está en su área. Lo derivé extendiendo la relación 1D (donde el factor es − mi α 1 − 2 v ) a 3D. No me sorprenderé si me equivoco. Soy bastante analfabeto en mecánica clásica.

Consideremos primero una temperatura dada dependiente del tiempo T ( X , y , t ) . Tu segunda ecuación relaciona dos divergencias

∇ 2 σ = 2 mi 3 ( v − 1 ) α ∇ 2 T
Esta ecuación debe ser resuelta para cada instante de tiempo . Esto se debe a que no existe una derivada temporal explícita, por lo que los diferentes instantes de tiempo son independientes. Sin embargo, a medida que cambia el tiempo ∇ 2 T puede cambiar (y las condiciones de contorno aplicadas a la PDE también pueden cambiar) y, como tales, diferentes instantes de tiempo pueden tener diferentes soluciones σ ( X , y , t ) . De este modo σ es, en principio, dependiente del tiempo.

Si T ( X , y ) como se indica en su pregunta (no estoy seguro de si es una afirmación o una conclusión errónea), entonces, asumiendo mi y v son independientes del tiempo también, y todos estos son conocidos, entonces podemos reescribir la ecuación anterior como

∇ 2 σ = F ( X , y )
para algunos conocidos F . Entonces podemos resolver esto considerando
σ ( X , y , t ) = σ 0 ( X , y ) + gramo ( X , y , t )
dónde
∇ 2 σ 0 = F ( X , y )
es una solución a la ecuación, y
∇ 2 gramo ( X , y , t ) = 0
es alguna solución a la ecuación de Laplace que ajusta la solución para cualquier dependencia del tiempo en las condiciones de contorno o la ecuación de evolución del tiempo para σ .

Inserción del formulario de σ en su primera ecuación da como resultado

∂ gramo ∂ t = D F ( X , y )
por lo tanto, la distribución de la temperatura afecta la parte que evoluciona en el tiempo de σ . Sin embargo, tomando el Laplaciano de esta ecuación se obtiene
∂ ∇ 2 gramo ∂ t = D ∇ 2 F ( X , y )
de este modo
0 = ∇ 2 F ( X , y )
y por lo tanto si T realmente es independiente del tiempo, entonces requerimos
∇ 2 ( 2 mi 3 ( v − 1 ) α ∇ 2 T ) = 0

Pregunta fácil sobre matemáticas de la ecuación de difusión.
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