Invertibilidad de una función (surjective/everywhere frechet)

Dejar tu , V ⊆ R norte estar abierto. Suponer que F : tu → V es sobreyectiva y es en todas partes Frechet diferenciable con d F ( X ) invertible para todos X ∈ tu . Es F invertible?

Sé que una de las condiciones para el teorema de la función inversa es que F es continuamente diferenciable, que no necesariamente tenemos. Si la pregunta no nos diera eso F fuera sobreyectiva, habría concluido que F no tiene que ser invertible, pero me pregunto qué intenta decirnos la pregunta al mencionar la sobreyectividad de F , si implica que F es continuamente diferenciable, no veo cómo.

Respuestas (1)

No, y el tema no es la continuidad de la derivada. Para ver esto, podría tomar la función del artículo de wikipedia sobre el teorema de la función inversa:

F ( X ) = ( mi X porque ⁡ ( y ) mi X pecado ⁡ ( y ) ) ,
que es una función sobreyectiva continuamente diferenciable de R 2 a R 2 ∖ { 0 } cuyo diferencial es en todas partes invertible. Esto tiene un inverso en todas partes localmente, pero no tiene un inverso global ya que es periódico en y .

(Esta es realmente la función holomorfa z ↦ mi z de C a C × disfrazada).

ahh sí, por supuesto, me olvidé de la periodicidad, todavía confundido en cuanto a por qué las preguntas mencionan sobreyectiva, ¿la sobreyectividad implica inversa local?
Si la pregunta quería que el lector apreciara el hecho de que las funciones periódicas no tienen un inverso global, ¿por qué no darnos eso? F es continuamente diferenciable también?
no me deja entrar, @Stephen
@Displayname Me sorprendería mucho si sobreyectiva más diferenciable implica continuamente diferenciable. ¡No sé por qué la pregunta se formuló de esa manera! No es necesario que me @ cuando responda a una de mis publicaciones: automáticamente me notifican.
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