Diferenciable vs continuo

La función X ↦ F ( X ) definido como X + 1 para X ≥ 0 y X para X < 0 tiene un salto en X = 0 . el derivado de F es igual a 1 en cada sector y así F es diferenciable en X = 0 y no hay hueco en la pendiente de las rectas tangentes. Sin embargo, las dos tangentes en 0 − y 0 + no son lo mismo. ¿Es esto correcto? Yo creía que diferenciable ⇒ continuo.

Respuestas (1)

el derivado de F es igual a 1 en cada sector y así F es diferenciable en 0

Incorrecto. F no es diferenciable en 0 .

Para poder F ser diferenciable en cero, límite h → 0 F ( h ) − F ( 0 ) h − 0 tendria que existir. Este límite no existe. En particular, si tomamos el límite por la izquierda, obtenemos límite h → 0 − h − 1 h = ∞ mientras que el límite por la derecha es límite h → 0 + h + 1 − 1 h = 1 .

Otra forma de notar que F no es diferenciable en 0 es al notar que F no es continua en cero. Como una función es continua en cualquier punto donde sea diferenciable, F no debe ser diferenciable en 0 .

Hay un teorema en el que podrías haber estado pensando al resolver tu problema. Si F es continua en cero y límite h → 0 F ′ ( h ) = L , entonces F ′ ( 0 ) = L . La demostración de este teorema implica el uso del teorema del valor medio.

Sin embargo, tenga en cuenta que un requisito clave de este teorema - que F es continua en 0 - No está satisfecho aquí.

Así que es realmente malo derivar la función y es mejor usar la definición de derivada. ¡¡Gracias!!
@yngabl Solo debe tener un poco más de cuidado con las funciones por partes que con otras funciones.
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