Invarianza, covarianza y simetría

Las definiciones de estos términos dependen un poco del contexto. Sin embargo, en general, la invariancia en física se refiere a cuando una cierta cantidad permanece igual bajo una transformación de las cosas a partir de las cuales se construye, mientras que la covarianza se refiere a cuando las ecuaciones "retienen la misma forma" después de que los objetos en las ecuaciones se transforman en de alguna manera

En el contexto de la teoría de campos, se pueden precisar estas nociones de la siguiente manera. Considere una teoría de campos$\phi$. Deja una transformación$T$

$$\phi \to\phi_T$$ en campos ser dado. Deja un funcional $F[\phi]$de los campos (considere la acción funcional por ejemplo). Se dice que el funcional es invariante bajo la transformación $T$de los campos provistos $$F[\phi_T] = F[\phi]$$ para todos los campos $\phi$. Por otro lado, se dice que las ecuaciones de movimiento de la teoría son covariantes con respecto a la transformación $T$siempre que los campos $\phi$satisfacen las ecuaciones, entonces también lo hacen los campos $\phi_T$; la forma de las ecuaciones se deja igual por $T$.

Por ejemplo, la acción de un único escalar real de Klein-Gordon$\phi$es invariante de Lorentz, lo que significa que no cambia bajo la transformación

$$\phi(x)\to\phi_\Lambda(x) = \phi(\Lambda^{-1}x),$$ y las ecuaciones de movimiento de la teoría son covariantes de Lorentz en el sentido de que si $\phi$satisface la ecuación de Klein-Gordon, entonces también lo hace $\phi_\Lambda$.

Además, me imagino que encontrarías esto útil.

Es útil recordar que las cantidades invariantes se ven como escalares de la transformación (no tienen índices en el espacio de destino). Por otro lado, las cantidades covariantes son objetos que se transforman de cierta manera.

Ejemplo: Vectores en$R^{2}$, bajo rotación$R_{ij}$, transforma covariantemente ya que$v'_{i}=R_{ij}v_{j}$, pero su longitud es invariable ya que$|v'|^{2}=v'_{a}v'_{a}=R_{am}v_{m}R_{an}v_{n}=v_{m}R^{t}_{ma}R_{an}v_{n}=v_{m} \delta_{mn} v_{n}=v_{n}v_{n}=|v|^{2}$. Esto significa que la segunda Ley de Newton se transforma covariantemente bajo rotaciones y la magnitud de la fuerza es invariante.