¿En qué sentido un número complejo puede ser un escalar?

Un escalar es una cantidad de un componente que es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas

Bien, pero ¿a qué te refieres con "rotación"?

Mira, un escalar en el sentido definido en tu cita no es solo "un escalar", punto. Solo puede tener un escalar con respecto a alguna operación de rotación en particular. La misma cantidad puede ser un escalar con respecto a un tipo de rotación y un vector o tensor con respecto a otro.

Es cierto que hay un grupo de rotación (un$U(1)$grupo) que actúa en el plano complejo y convierte un número complejo en otro. Pero ese no es el tipo de grupo de rotación que usan los físicos. Usamos rotaciones que convierten direcciones físicas una en otra (la tradicional$SO(3)$rotacin), o que convierten las direcciones de las lneas del mundo entre s (el grupo de Lorentz), o que convierten los estados de giro entre s (cualquier$SU(2)$grupo de espín), o estados de color (el$SU(3)$grupo utilizado en QCD), etc. Ninguna de estas rotaciones afecta a un número complejo simple y antiguo, porque un número complejo simple y antiguo no tiene ningún significado físico adjunto que pueda causar que cambie bajo cualquier operación de rotación física.

Esto tiene implicaciones para lo que cuenta como un "componente". Como mencionó el usuario 2357112 en los comentarios, depende del contexto: por ejemplo, puede tratar un número complejo como un vector de dos componentes, o podría tener un vector con coeficientes complejos (como en la mecánica cuántica), en cuyo caso cada número complejo es solo un componente. De hecho, incluso hay situaciones en las que una matriz completa puede ser un componente, como el vector de Pauli .

El punto es que no debe asumir que un componente tiene que ser un número real, o incluso cualquier tipo de número. Probablemente tenga más sentido definir un componente en términos de rotaciones (ya que en matemáticas toda la idea de componentes proviene de espacios vectoriales, por lo que también podríamos hacer lo mismo en física). No voy a sugerir ningún tipo de definición rigurosa aquí, pero una definición sensata captaría la idea de que los componentes de un vector se "compensan" entre sí bajo una rotación, y si algún objeto matemático no se ve afectado por una cierta rotación, entonces todo el objeto (ya sea número, vector, tensor, lo que sea) merece ser considerado un componente (y por lo tanto un escalar) con respecto a esa rotación.

Aunque esto es algo trivial, un número complejo, como miembro de un campo puede ser un escalar que actúa por multiplicación conmutativa sobre un espacio vectorial , siendo este último, por escalamiento, la manifestación fundamental de la noción de linealidad . Ver la definición de un espacio vectorial para más detalles.

Los números complejos generalmente se visualizan como una "cantidad similar a un vector de dos componentes". Sin embargo, esta es solo una herramienta de visualización, y los ejes real+imaginario del plano de Argand no corresponden a ninguna dirección física. Los números complejos no cambian bajo$SO(3)$rotaciones del espacio o impulsos de Lorentz, por lo que son escalares.

Si cree que los números complejos están fundamentalmente vinculados a puntos en una superficie bidimensional, es posible que le interese su historia. Muchos teoremas importantes sobre números complejos se desarrollaron en el siglo XVIII, incluida la fórmula de De Moivre y la fórmula de Euler. Todos estos se basaron en la definición algebraica.$i^2 = -1$, sin ninguna identificación/visualización geométrica de números complejos como puntos en un plano complejo. Fue solo en el siglo XIX que el plano complejo nació como concepto.

Para ampliar un poco la respuesta de WetSavannaAnimal, un matemático define un espacio vectorial (vagamente) como un conjunto de cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman o multiplican por un escalar (también conocido como número). No necesitan ser pequeñas flechas. EG El conjunto de todas las funciones$y = ax^2 + bx + c$es un espacio vectorial 3D.

Un vector de n dimensiones siempre se puede representar con n números, lo que equivale a un punto en un espacio físico de n dimensiones, o una pequeña flecha desde el origen hasta ese punto. Este es el sentido en el que un vector puede ser descrito por una magnitud y dirección.

Para los espacios vectoriales más familiares, los números son reales. Pero es posible que también sean complejos. Por ejemplo, las funciones anteriores podrían definirse sobre el plano complejo. Seguiría siendo un espacio vectorial 3D. A pesar de$a$,$b$, y$c$serían números complejos, hay 3 de ellos.

Esto amplía un poco la idea de una flecha en un espacio físico. Pero entonces, también lo hace un vector 4D o 17D. El punto es que un escalar es el número que puede multiplicar un vector sin cambiar su dirección.

Para un físico, un vector tiene que tener otra propiedad. Debe tener una magnitud físicamente significativa que no cambie cuando gira el sistema de coordenadas. Para un físico, la fuerza es un vector, pero un punto en un espacio de fase termodinámico no lo es. Para un físico, el espacio-tiempo 4D es un espacio vectorial donde la magnitud es el intervalo y las rotaciones de coordenadas son impulsos.

Los físicos son un poco descuidados en este punto. Para un matemático, la idea de magnitud es capturada por la definición de una norma. Para un matemático, el espacio-tiempo 4D no es un espacio vectorial normado porque una norma nunca debe ser negativa.

Volviendo al punto, un segundo significado de escalar es un valor físicamente significativo que es invariable bajo las rotaciones de coordenadas. La magnitud de un vector es un escalar. Asimismo, las magnitudes de los tensores de mayor rango son escalares.

En este sentido, los escalares suelen ser números reales. La mecánica cuántica tiene funciones de onda de valores complejos. Pero las magnitudes físicamente significativas son reales.

Lo que ha citado es una definición de "escalar" en algún contexto físico/matemático.

El término "escalar" proviene de la palabra latina scala que significa escalera; y multiplicar una cantidad vectorial por un escalar tiene el efecto de escalar su magnitud sin afectar su orientación. De ahí el nombre "escalar". Pero a lo largo de los años, "escalar" ha sido degradado gradualmente por los matemáticos para incluso referirse a cantidades complejas que "escalan" alguna otra cantidad matemática abstracta a través de la multiplicación. ¡A pesar de que originalmente, multiplicar un vector por una cantidad compleja tenía el efecto de escalar y rotar un vector!

Entonces, un número complejo puede ser un escalar hoy cuando se usa para "escalar" otra cantidad matemática abstracta a través de la operación unaria que llamamos multiplicación. Pero de una manera que no se pretendía originalmente a través de la definición de "escalar".